Question

如圖，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象交x軸于A、D兩點(diǎn)，并經(jīng)過B點(diǎn)，已知A點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)是（8，6）．

（1）求二次函數(shù)的解析式．

（2）求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)及D點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）該二次函數(shù)的對稱軸交x軸于C點(diǎn)．連接BC，并延長BC交拋物線于E點(diǎn)，連接BD，DE，求△BDE的面積．

（4）拋物線上有一個動點(diǎn)P，與A，D兩點(diǎn)構(gòu)成△ADP，是否存在S_△ADP=S_△BCD？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在．請說明理由．

Answer 1

（1）二次函數(shù)解析式為：y=x²﹣4x+6；

（2）函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，0）；

（3）△BDE的面積為7.5．

（4）存在，P₁（4+，），P₂（4﹣，），P₃（3，﹣），P₄（5，﹣）．

【解析】（1）∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象過A（2，0），B（8，6）

∴，解得，∴二次函數(shù)解析式為：y=x²﹣4x+6；

（2）由y=x²﹣4x+6，得y=（x﹣4）²﹣2，∴函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣2），

∵點(diǎn)A，D是y=x²+bx+c與x軸的兩個交點(diǎn)，又∵點(diǎn)A（2，0），對稱軸為x=4，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，0）；

（3）∵二次函數(shù)的對稱軸交x軸于C點(diǎn)．∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）∵B（8，6），

設(shè)BC所在的直線解析式為y=kx+b，∴解得

∴BC所在的直線解析式為y=x﹣6，∵E點(diǎn)是y=x﹣6與y=x²﹣4x+6的交點(diǎn)，∴x﹣6=x²﹣4x+6，解得x₁=3，x₂=8（舍去），當(dāng)x=3時，y=﹣3，∴E（3，﹣），

∴△BDE的面積=△CDB的面積+△CDE的面積=×2×6+×2×=7.5．

（4）存在，

設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，

∵S_△BCD=×2×6=6，S_△ADP=×4×h=2h，∵S_△ADP=S_△BCD  ，∴2h=6×，解得h=，

當(dāng)P在x軸上方時，=x²﹣4x+6，解得x₁=4+，x₂=4﹣，

當(dāng)P在x軸下方時，﹣=x²﹣4x+6，解得x₁=3，x₂=5，

∴P₁（4+，），P₂（4﹣，），P₃（3，﹣），P₄（5，﹣）．