Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°、∠A=30°，在AC邊上取點(diǎn)O畫圓，使⊙O經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的序號(hào)是 （多填或錯(cuò)填得0分，少填酌情給分）．

①AO=2CO；

②AO=BC；

③以O(shè)為圓心，以O(shè)C為半徑的圓與AB相切；

④延長(zhǎng)BC交⊙O與D，則A、B、D是⊙O的三等分點(diǎn)．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

試題分析：連接OB，可得∠ABO=30°，則∠OBC=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得OC=OB=OA，再根據(jù)三角函數(shù)cos∠OBC=，則BC=OB，因?yàn)辄c(diǎn)O在∠ABC的角平分線上，所以點(diǎn)O到直線AB的距離等于OC的長(zhǎng)，根據(jù)垂徑定理得直線AC是弦BD的垂直平分線，則點(diǎn)A、B、D將⊙O的三等分．

解：連接OB，∴OA=OB，

∴∠A=∠ABO，

∵∠C=90°，∠A=30°，

∴∠ABC=60°，

∴∠OBC=30°，

∴OC=OB=OA，

即OA=2OC，

故①正確；

∵cos∠OBC=，

∴BC=OB，

即BC=OA，

故②錯(cuò)誤；

∵∠ABO=∠OBC=30°，

∴點(diǎn)O在∠ABC的角平分線上，

∴點(diǎn)O到直線AB的距離等于OC的長(zhǎng)，

即以O(shè)為圓心，以O(shè)C為半徑的圓與AB相切；

故③正確；

延長(zhǎng)BC交⊙O于D，

∵AC⊥BD，

∴AD=AB，

∴△ABD為等邊三角形，

∴==，

∴點(diǎn)A、B、D將⊙O的三等分．

故④正確．

故答案為①③④．