Question

已知：如圖，⊙O的直徑為10，弦AC=8，點B在圓周上運動（與A、C兩點不重合），連接BC、BA，過點C作CD⊥AB于D、設CB的長為x，CD的長為y．
（1）求y關于x的函數關系式；當以BC為直徑的圓與AC相切時，求y的值；
（2）在點B運動的過程中，以CD為直徑的圓與⊙O有幾種位置關系，并求出不同位置時y的取值范圍；
（3）在點B運動的過程中，如果過B作BE⊥AC于E，那么以BE為直徑的圓與⊙O能內切嗎？若不能，說明理由；若能，求出BE的長．

Answer 1

分析：（1）∵直徑為10，弦AC=8，CD⊥AB，CB的長為x，CD的長為y，∴y=

4

5

x，當以CB為直徑的圓與AC相切時，點B與點M重合，即可求解；
（2）①當CB=CA=8時，兩圓內切，②當CB≠8時，兩圓相交；討論后即可得出答案；
（3）假設以BE為直徑的圓與⊙O可以內切，看能否求出BE即可；

解答：解：（1）如圖1，連接OA、OC、．過圓心O作OE⊥AC于點E．
∵直徑為10，弦AC=8，
∴OC=5，CE=8，∠AOE=∠COE．
又∵∠ABC=

1

2

∠AOC=∠COE，CD⊥AB，CB的長為x，
CD的長為y，
∴y=

4

5

x，當以CB為直徑的圓與AC相切時，點B與點M重合，
此時，x=6，y=4.8；

（2）以DC為直徑的圓與⊙O的位置關系是相交或內切，
①當CB=CA=8時，兩圓內切，y=

4

5

×8=6.4；
②當CB≠8時，兩圓相交，0＜y≤8，且y≠6.4．

（3）以BE為直徑的圓與⊙O可以內切，
∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴BE=5-3=2或BE=5+3=8．

點評：本題考查了一次函數與圓與圓的位置關系，難度較大，關鍵是分類討論兩圓的位置關系．