Question

【題目】如圖，在Rt△ABC，∠ABC=90°，AB=20，BC=15,點(diǎn)D為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA往A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止.若設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度.

（1）當(dāng)t=2時(shí)，求CD、AD的長(zhǎng)；

（2）在D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△CBD能否為直角三角形，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由，若能，請(qǐng)求出t的值；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△CBD是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出t的值.

Answer 1

【答案】（1）CD=4，AD=21；（2）t= 4.5 或12.5秒；（3）t=6.25或7.5或9秒時(shí)，△CBD是等腰三角形.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)CD=速度×?xí)r間列式計(jì)算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根據(jù)AD=AC-CD代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；

（2）分①∠CDB=90°時(shí)，利用△ABC的面積列式計(jì)算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根據(jù)時(shí)間=路程÷速度計(jì)算；②∠CBD=90°時(shí)，點(diǎn)D和點(diǎn)A重合，然后根據(jù)時(shí)間=路程÷速度計(jì)算即可得解；

（3）分①CD=BD時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CE=BE，從而得到CD=AD；②CD=BC時(shí)，CD=6；③BD=BC時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于F，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CD=2CF，再由（2）的結(jié)論解答．

試題解析：(1) t=2時(shí)，CD=2×2=4

∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15

∴AC=

AD=AC-CD=25-4=21

(2) ① ∠CDB=90°時(shí)，

即

解得BD=12

所以CD=

t= 9÷2=4.5

②∠CBD=90°時(shí),點(diǎn)D和點(diǎn)A重合

t=25÷2=12.5

綜上所述，t= 4.5 或12.5秒

（3）①CD=BD時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，

則CE=BE，

CD=AD=AC=×25=12.5，

t=12.5÷2=6.25；

②CD=BC時(shí)，CD=15，t=15÷2=7.5；

③BD=BC時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于F，

則CF=9，

CD=2CF=9×2=18，

t=18÷2=9，

綜上所述，t=6.25或7.5或9秒時(shí)，△CBD是等腰三角形．