【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8.點E與點B在AC的同側(cè),且AE⊥AC.
(1)如圖1,點E不與點A重合,連結(jié)CE交AB于點P.設(shè)AE=x,AP=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(2)是否存在點E,使△PAE與△ABC相似,若存在,求AE的長;若不存在,說明理由;
(3)如圖2,過點B作BD⊥AE,垂足為D.將以點E為圓心,ED為半徑的圓記為⊙E.若點C到⊙E上點的距離的最小值為8,求⊙E的半徑.
【答案】(1);(2);(3)9或.
【解析】
(1)根據(jù)勾股定理求出AB的長,再根據(jù)△APE∽△BPC得出比例式,整理即可求出結(jié)果;
(2)先判斷只有∠EPA=90°時,可使△PAE與△ABC相似,再證明△ABC∽△EAC,進一步根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出結(jié)果;
(3)先由題意判斷點C必在⊙E外部,于是點C到⊙E上點的距離的最小值為CE﹣DE,再分點E在線段AD上和線段AD的延長線上兩種情況,在△AEC中根據(jù)勾股定理列出方程求解即可.
解:(1)∵AE⊥AC,∠ACB=90°,
∴AE∥BC,
∴△APE∽△BPC,
∴,
∵BC=6,AC=8,
∴AB==10,
∵AE=x,AP=y,
∴,
∴;
(2)∵∠ACB=90°,而∠PAE與∠PEA都是銳角,
∴要使△PAE與△ABC相似,只有∠EPA=90°,即CE⊥AB,
此時△ABC∽△ECA,則,∴AE=.
故存在點E,使△ABC∽△EAP,此時AE=;
(3)由題意可知點C必在⊙E外部,此時點C到⊙E上點的距離的最小值為CE﹣DE.
設(shè)AE=x.①當點E在線段AD上時,如圖,ED=6﹣x,EC=6﹣x+8=14﹣x,
則在Rt△AEC中,根據(jù)勾股定理,得x2+82=(14﹣x)2,解得:x=,
即⊙E的半徑為.
②當點E在線段AD延長線上時,如圖,ED=x﹣6,EC=x﹣6+8=x+2,
則在Rt△AEC中,根據(jù)勾股定理,得x2+82=(x+2)2,解得:x=15,即⊙E的半徑為9.
∴⊙E的半徑為9或.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,□ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC=.對角線AC,BD相交于點O,將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn),分別交BC,AD于點E,F.
(1)試說明在旋轉(zhuǎn)過程中,線段AF與EC總保持相等;
(2)在旋轉(zhuǎn)過程中,四邊形BEDF可能是菱形嗎?如果不能,請說明理由;如果能,請直接寫出此時AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=8,AC=6.點D在邊AB上,AD=4.5.△ABC的角平分線AE交CD于點F.
(1)求證:△ACD∽△ABC;
(2)求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在去年的創(chuàng)建全國文明城市活動中,抱著我為文明瑞安出一份力的想法,小華就公眾對在餐廳吸煙的態(tài)度進行了隨機抽樣調(diào)查,主要有四種態(tài)度:A、顧客出面制止;B、勸說進吸煙室;C、餐廳老板出面制止;D、無所謂.他將調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)圖中的信息回答下列問題:
(1)這次抽樣的公眾有__________人;
(2)請將統(tǒng)計圖①補充完整;
(3)在統(tǒng)計圖②中,“無所謂”部分所對應(yīng)的圓心角是多少度?
(4)若瑞安全市人口有120萬人,估計贊成“餐廳老板出面制止”的有多少萬人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,每一個小正方形的邊長都為1,△OAB的頂點分別為O(0,0),A(1,2),B(2,﹣1).
(1)以點O(0,0)為位似中心,按位似比1:3在位似中心的同側(cè)將△OAB放大為△OA′B′,放大后點A、B的對應(yīng)點分別為A′、B′,請在圖中畫出△OA′B′;
(2)在(1)中,若C(a,b)為線段AB上任一點,寫出變化后點C的對應(yīng)點C'的坐標____;
(3)直接寫出四邊形ABA′B′的面積是____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知 △ABC 的三個頂點的坐標分別為 A(-2,3)、B(-6,0)、C(-1,0).
(1)將△ABC繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn) 90°. 畫出圖形,直接寫出點B的對應(yīng)點的坐標;
(2)請直接寫出:以 A、B、C 為頂點的平行四邊形的第四個頂點 D 的坐標.
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,根據(jù)圖象解答下列問題.
(1)寫出方程ax2+bx+c=0的兩個根;
(2)寫出不等式ax2+bx+c>0的解集;
(3)寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍;
(4)若方程ax2+bx+c=k有兩個不相等的實數(shù)根,求k的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】西寧教育局在局屬各初中學(xué)校設(shè)立“自主學(xué)習(xí)日”.規(guī)定每周三學(xué)校不得以任何形式布置家庭作業(yè),為了解各學(xué)校的落實情況,從七、八年級學(xué)生中隨機抽取了部分學(xué)生的反饋表.針對以下六個項目(每人只能選一項):.課外閱讀;.家務(wù)勞動;.體育鍛煉;.學(xué)科學(xué)習(xí);.社會實踐;.其他項目進行調(diào)查.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題:
(1)此次抽查的樣本容量為____________,請補全條形統(tǒng)計圖;
(2)全市約有4萬名在校初中學(xué)生,試估計全市學(xué)生中選擇體育鍛煉的人數(shù)約有多少人?
(3)七年級(1)班從選擇社會實踐的2名女生和1名男生中選派2名參加校級社會實踐活動.請你用樹狀圖或列表法求出恰好選到1男1女的概率是多少?并列舉出所有等可能的結(jié)果.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象,有下列4個結(jié)論:①abc>0;②b>a+c;③4a+2b+c>0;④b2-4ac>0;其中正確的個數(shù)有( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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