Question

已知關(guān)于x的方程x²+2ax+（a-4）=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂（x₁＜x₂），若關(guān)于x的另一個(gè)方程x²+2ax+k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都在x₁與x₂之間，試比較：代數(shù)式k+4，a，a²+4之間的大小關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程根的分布

專題：

分析：根據(jù)（1）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得到△=4a²-4a+16=（2a-1）²+15＞0，求出a²+4＞a；根據(jù)方程（2）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則有△=4a²-4k≥0，故a²≥k，則有a²+4≥k+4；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷出函數(shù)（2）的圖象在函數(shù)（1）的上方，則有k＞a-4即k+4＞a，從而得出結(jié)論．

解答：解：方程（1）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則有△=4a²-4a+16=（2a-1）²+15＞0知，a可取任意實(shí)數(shù)，故a²+4＞a，
方程（2）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則有△=4a²-4k≥0，故a²≥k，則有a²+4≥k+4；
函數(shù)y=x²+2ax+（a-4）（1）與函數(shù)y=x²+2ax+k（2）與x軸的交點(diǎn)，即為它們所對應(yīng)方程的根，而它們的開口方向相同，形狀相同，根據(jù)題意則有，函數(shù)（2）的圖象在函數(shù)（1）的上方，則有k＞a-4即k+4＞a，
則a²+4≥k+4＞a．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程根的分布，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系和二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的基本思路．