Question

【題目】如圖，拋物線y=a（x﹣h）2+k經(jīng)過點A（0，1），且頂點坐標為B（1，2），它的對稱軸與x軸交于點C．

（1）求此拋物線的解析式．
（2）在第一象限內(nèi)的拋物線上求點P，使得△ACP是以AC為底的等腰三角形，請求出此時點P的坐標．
（3）上述點是否是第一象限內(nèi)此拋物線上與AC距離最遠的點？若是，請說明理由；若不是，請求出第一象限內(nèi)此拋物線上與AC距離最遠的點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=a（x﹣h）2+k頂點坐標為B（1，2），

∴y=a（x﹣1）2+2，

∵拋物線經(jīng)過點A（0，1），

∴a（0﹣1）2+2=1，

∴a=﹣1，

∴此拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+2或y=﹣x2+2x+1；

（2）

解：∵A（0，1），C（1，0），

∴OA=OC，

∴△OAC是等腰直角三角形．

過點O作AC的垂線l，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)知：l是AC的中垂線，

∴l(xiāng)與拋物線的交點即為點P．

如圖，直線l的解析式為y=x，

解方程組 ，

得 ， （不合題意舍去），

∴點P的坐標為（ ， ）；

（3）

解：點P不是第一象限內(nèi)此拋物線上與AC距離最遠的點．

由（1）知，點C的坐標為（1，0）．

設直線AC的解析式為y=kx+b，

則 ，解得 ，

∴直線AC的解析式為y=﹣x+1．

設與AC平行的直線的解析式為y=﹣x+m．

解方程組 ，

代入消元，得﹣x2+2x+1=﹣x+m，

∵此點與AC距離最遠，

∴直線y=﹣x+m與拋物線有且只有一個交點，

即方程﹣x2+2x+1=﹣x+m有兩個相等的實數(shù)根．

整理方程得：x2﹣3x+m﹣1=0，

△=9﹣4（m﹣1）=0，解之得m= ．

則x2﹣3x+ ﹣1=0，解之得x1=x2= ，此時y= ．

∴第一象限內(nèi)此拋物線上與AC距離最遠的點的坐標為（ ， ）．

【解析】（1）由拋物線y=a（x﹣h）2+k的頂點坐標是B（1，2）知：h=1，k=2，則y=a（x﹣1）2+2，再把A點坐標代入此解析式即可；（2）易知△OAC是等腰直角三角形，可得AC的垂直平分線是直線y=x，根據(jù)“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”知直線y=x與拋物線的交點即為點P，解方程組即可求出P點坐標；（3）先求出第一象限內(nèi)此拋物線上與AC距離最遠的點的坐標，再與P點的坐標比較進行判斷．滿足條件的點一定是與直線AC平行且與拋物線有唯一交點的直線與拋物線相交產(chǎn)生的，易求出直線AC的解析式，設出與AC平行的直線的解析式，令它與拋物線的解析式組成的方程組有唯一解，求出交點坐標，通過判斷它與點P是否重合來判斷點P是否是第一象限內(nèi)此拋物線上與AC距離最遠的點．