Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=CD，點(diǎn)O是對角線BD的中點(diǎn)，BD=5，tan∠DBC=

4

3

，點(diǎn)P是邊AB上的一個(gè)動點(diǎn)，直線PO交直線AD于點(diǎn)M．
（1）求梯形ABCD的周長；
（2）當(dāng)△APM和△ABD相似時(shí)，求BP的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),梯形

專題：

分析：（1）由tan∠DBC=

4

3

，且AD∥BC可求得AB=4，AD=3，再過點(diǎn)C作CE⊥AD交AD于點(diǎn)E，在Rt△CED中可求得CD的長，可求得其周長；
（2）由△APM和△ABD相似可知∠M=∠B，可得∠BPO=∠ODA，可證得△BOP∽△BAD，利用相似比可求得BP．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠BDA=∠DBC，
∴tan∠BDA=∠DBC=

4

3

，
∴

AB

AD

=

4

3

，且BD=5，
∴AB=4，AD=3，
如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AD交AD于點(diǎn)E，
則CE=AB=4，
設(shè)BC=CD=x，則DE=3-x，
在Rt△CED中，由勾股定理可得：x²=4²+（3-x）²，解得x=

25

6

，
∴AB+BC+CD+DA=4+3+

25

6

+

25

6

=

46

3

，
即梯形ABCD的周長為

46

3

；

（2）當(dāng)△APM和△ABD相似時(shí)
有∠PMA=∠BDA或∠PMA=∠ABD，
當(dāng)∠PMA=∠BDA時(shí)，則OM=OD，且O為BD中點(diǎn)，所以O(shè)M=OD=OA，此時(shí)M點(diǎn)與A點(diǎn)重合，不符合題意，
當(dāng)∠PMA=∠ABD時(shí)，
∵∠PMA+∠MPA=∠PMA+∠BPO=90°，∠PBO+∠BDA=90°，
∴∠BPO=∠BDA，且∠ABD為公共角，
∴△BPO∽△BDA，
∴

BP

BD

=

BO

BA

，即

BP

5

=

5 2

4

，
解得BP=

25

8

．

點(diǎn)評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，在（1）中求得BC長是解題的關(guān)鍵，在（2）中證明△BPO∽△BDA是解題的關(guān)鍵．