Question

已知正整數(shù)x、y滿足條件：

2

x

+

1

y

=a，（其中，a是正整數(shù)，且x＜y）求x和y．

Answer 1

分析：由x，y，a都是正整數(shù)，x≥1，y≥2，得到

2

x

+

1

y

≤2+

1

2

，即a≤2

1

2

，得到a=1或a=2；討論：當(dāng)a=1時，

2

x

+

1

y

=1，分別對x=1或x=2或x≥3進(jìn)行分析都不合題意，得到a≠1．當(dāng)a=2時，

2

x

+

1

y

=2，然后對x=1或1＜x＜3或x≥3進(jìn)行分析得到x=2，y=1．

解答：解：∵x，y，a都是正整數(shù)，x≥1，y≥2，
∴

2

x

+

1

y

≤2+

1

2

，即a≤2

1

2

，
∴a=1或a=2；
當(dāng)a=1時，

2

x

+

1

y

=1，若x=1，則

1

y

=-1，與y是正整數(shù)矛盾，所以x≠1；
若x=2，則

1

y

=0，與y是正整數(shù)矛盾，所以x≠2；
若x≥3，則

2

x

+

1

y

≤

2

3

+

1

4

＜1，與

2

x

+

1

y

=1矛盾，所以x＜3；
綜上所述，所以a≠1．
當(dāng)a=2時，

2

x

+

1

y

=2，若x=1，則

1

y

=0，與y是正整數(shù)矛盾，所以x≠1；
若x=2，則

1

y

=1，解得y=1，符合；
若x≥3，則

2

x

+

1

y

≤

2

3

+

1

4

＜1，與

2

x

+

1

y

=2矛盾，所以x＜3；
∴1＜x＜3，
∴x=2，y=1，與x＜y矛盾．
故本題無解．

點評：本題考查了方程的正整數(shù)解的問題：利用分類討論和不等式的性質(zhì)以及正整數(shù)的性質(zhì)探求方程的正整數(shù)解．