Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=4，AB=5．點D在反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象上，DA⊥OA，點P在y軸負半軸上，OP=7．
（1）求點B的坐標和線段PB的長；
（2）當∠PDB=90°時，求反比例函數(shù)的解析式．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：

分析：（1）根據(jù)勾股定理求出OB，即可得出答案；
（2）設(shè)D的坐標是（4，y），證△BDM∽△DPM，得出比例式，代入即可求出y，把D的坐標代入求出即可．-

解答：解：（1）∵AB=5，OA=4，∠AOB=90°，
∴由勾股定理得：OB=3，
即點B的坐標是（0，3），
∵OP=7，
∴線段PB的長是7+3=10；

（2）過D作DM⊥y軸于M，
∵PD⊥BD，
∴∠BDP=∠DMB=∠DMP=90°，
∴∠DBM+∠BDM=90°，∠BDM+∠MDP=90°，
∴∠DBM=∠PDM，
∴△DBM∽△PDM，
∴

DM

BM

=

PM

DM

，
∵OA=4，AD⊥x軸，
∴設(shè)D的坐標是（4，y）（y＞0），
∴

4

3-y

=

7+y

4

，
解得：y=1，（y=-5舍去），
即D點的坐標是（4，1），
把D的坐標代入y=

k

x

得：k=4，
即反比例函數(shù)的解析式是y=

4

x

．

點評：本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題，相似三角形的性質(zhì)和判定，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的應用，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵，題目比較典型，難度不大．