Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)F，使CF=CA，連接AF，∠ACF的平分線(xiàn)分別交AF，AB，BD于點(diǎn)E，N，M，連接EO．

（1）已知BD=，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)；

（2）猜想線(xiàn)段EM與CN的數(shù)量關(guān)系并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）CN=CM．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理即可求得；

（2）根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)證得CE⊥AF，進(jìn)一步得出∠BAF=∠BCN，然后通過(guò)證得△ABF≌△CBN得出AF=CN，進(jìn)而證得△ABF∽△COM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)即可證得CN=CM．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴△ABD是等腰直角三角形，∴2AB2=BD2，∵BD=，∴AB=1，∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1；

（2）CN=CM．

證明：∵CF=CA，AF是∠ACF的平分線(xiàn)，∴CE⊥AF，∴∠AEN=∠CBN=90°，∵∠ANE=∠CNB，∴∠BAF=∠BCN，在△ABF和△CBN中，∵∠BAF=∠BCN，∠ABF=∠CBN，AB=BC，∴△ABF≌△CBN（AAS），∴AF=CN，∵∠BAF=∠BCN，∠ACN=∠BCN，∴∠BAF=∠OCM，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠ABF=∠COM=90°，∴△ABF∽△COM，∴，∴，即CN=CM．