Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為2cm，點(diǎn)A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B和D(4，-

2

3

)．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如果點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同
時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)S=PQ²（cm²）
①試求出S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍；
②當(dāng)S取

5

4

時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)R，使得以P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上求點(diǎn)M，使得M到D、A的距離之差最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，求出A、B、D的坐標(biāo)代入即可；
（2）①由勾股定理即可求出，②假設(shè)存在點(diǎn)R，可構(gòu)成以P、B、R、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，求出P、Q的坐標(biāo)，再分為兩種種情況：A、B、C即可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出R的坐標(biāo)．
（3）A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，過(guò)B、D的直線與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為所求M，求出直線BD的解析式，把拋物線的對(duì)稱軸x=1代入即可求出M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，
∵正方形的邊長(zhǎng)2，
∴B的坐標(biāo)（2，-2）A點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，-2），
把A（0，-2），B（2，-2），D（4，-

2

3

）代入得：

c=-2 4a+2b+c=-2 16a+4b+c=- 2 3

，
解得a=

1

6

，b=-

1

3

，c=-2，
∴拋物線的解析式為：y=

1

6

x2-

1

3

x-2，
答：拋物線的解析式為：y=

1

6

x2-

1

3

x-2．

（2）①由圖象知：PB=2-2t，BQ=t，
∴S=PQ²=PB²+BQ²，
=（2-2t）²+t²，
即S=5t²-8t+4（0≤t≤1）．
答：S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式是S=5t²-8t+4，t的取值范圍是0≤t≤1．
②解：假設(shè)存在點(diǎn)R，可構(gòu)成以P、B、R、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形．
∵S=5t²-8t+4（0≤t≤1），
∴當(dāng)S=

5

4

時(shí)，5t²-8t+4=

5

4

，得20t²-32t+11=0，
解得t=

1

2

，t=

11

10

（不合題意，舍去），
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-2），Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-

3

2

），
若R點(diǎn)存在，分情況討論：
（i）假設(shè)R在BQ的右邊，如圖（1）所示，這時(shí)QR=PB，RQ∥PB，
則R的橫坐標(biāo)為3，R的縱坐標(biāo)為-

3

2

，
即R（3，-

3

2

），
代入y=

1

6

x2-

1

3

x-2，左右兩邊相等，
∴這時(shí)存在R（3，-

3

2

）滿足題意；

（ii）假設(shè)R在QB的左邊時(shí)，這時(shí)PR=QB，PR∥QB，
則R（1，-

5

2

）代入，y=

1

6

x2-

1

3

x-2，
左右不相等，∴R不在拋物線上．
綜上所述，存在一點(diǎn)R（3，-

3

2

）滿足題意．
則存在，R點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，-

3

2

）；

（3）如圖（2），M′B=M′A，
∵A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，過(guò)B、D的直線與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為所求M，
理由是：∵M(jìn)A=MB，若M不為L(zhǎng)與DB的交點(diǎn)，則三點(diǎn)B、M、D構(gòu)成三角形，
∴|MD|-|MB|＜|DB|，
即M到D、A的距離之差為|DB|時(shí)，差值最大，
設(shè)直線BD的解析式是y=kx+b，把B、D的坐標(biāo)代入得：

2k+b=-2 4k+b=- 2 3

，
解得：k=

2

3

，b=-

10

3

，
∴y=

2

3

x-

10

3

，
拋物線y=

1

6

x2-

1

3

x-2的對(duì)稱軸是x=1，
把x=1代入得：y=-

8

3

∴M的坐標(biāo)為（1，-

8

3

）；
答：M的坐標(biāo)為（1，-

8

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行計(jì)算．此題綜合性強(qiáng)，是一道難度較大的題目．