Question

閱讀下面的情景對(duì)話，然后解答問題：
老師：我們新定義一種三角形，兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．
小華：等邊三角形一定是奇異三角形！
小明：那直角三角形中是否存在奇異三角形呢？
問題（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義，請(qǐng)你判斷小華提出的猜想：“等邊三角形一定是奇異三角形”是否正確？
問題（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c；
問題（3）如圖，以AB為斜邊分別在AB的兩側(cè)作直角三角形，且AD=BD，若四邊形ADBC內(nèi)存在點(diǎn)E，使得AE=AD，CB=CE．
①求證：△ACE是奇異三角形；
②當(dāng)△ACE是直角三角形時(shí)，求∠DBC的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義與等邊三角形的性質(zhì)，求證即可；
（2）根據(jù)勾股定理與奇異三角形的性質(zhì)，可得a²+b²=c²與a²+c²=2b²，用a表示出b與c，即可求得答案；
（3）①AB是⊙O的直徑，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理與圓的性質(zhì)即可證得；
②利用（2）中的結(jié)論，分別從AC：AE：CE=1：

2

：

3

與AC：AE：CE=

3

：

2

：1去分析，即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)等邊三角形的一邊為a，則a²+a²=2a²，
∴符合奇異三角形”的定義．
∴正確；

（2）∵∠C=90°，
則a²+b²=c²①，
∵Rt△ABC是奇異三角形，且b＞a，
∴a²+c²=2b²②，
由①②得：b=

2

a，c=

3

a，
∴a：b：c=1：

2

：

3

；

（3）①∵以AB為斜邊分別在AB的兩側(cè)作直角三角形，
利用直角三角形外接圓直徑就是斜邊，AD=BD，
∴AB是⊙O的直徑，
∴AB²=AD²+BD²=2AD²，
∴AC²+CB²=2AD²，
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC²+CE²=2AE²，
∴△ACE是奇異三角形；
②由①可得△ACE是奇異三角形，
∴AC²+CE²=2AE²，
當(dāng)△ACE是直角三角形時(shí)，
由（2）得：AC：AE：CE=1：

2

：

3

或AC：AE：CE=

3

：

2

：1，
當(dāng)AC：AE：CE=1：

2

：

3

時(shí)，AC：CE=1：

3

，即AC：CB=1：

3

，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
∵AD=BD，∠ADB=90°，
∴∠ABD=45°，
∴∠DBC=∠ABC+∠ABD=75°，
當(dāng)AC：AE：CE=

3

：

2

：1時(shí)，AC：CE=

3

：1，即AC：CB=

3

：1，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∵AD=BD，∠ADB=90°，
∴∠DBC=∠ABC+∠ABD=105°，
∴∠DBC=105°或∠DBC=75°．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了新定義的知識(shí)，勾股定理以及圓的性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是理解題意，抓住數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．