Question

【題目】如圖①，小慧同學(xué)把一個正三角形紙片（即△OAB）放在直線l1上．OA邊與直線l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點A按順吋針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時點O運動到了點O1處，點B運動到了點B1處；小慧又將三角形紙片AO1B1 ， 繞點B1按順吋針方向旋轉(zhuǎn) 120°，此時點A運動到了點A1處，點O1運動到了點O2處（即頂點O經(jīng)過上述兩次旋轉(zhuǎn)到達O2處）． 小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)的過程中．頂點O運動所形成的圖形是兩段圓弧，即 和 ，頂點O所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩段圓弧與直線l1圍成的圖形面積等于扇形A001的面積、△AO1B1的面積和扇形B1O1O2的面積之和．
小慧進行類比研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片0ABC放在直線l2上，0A邊與直線l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，此時點O運動到了點O1處（即點B處），點C運動到了點C1處，點B運動到了點B2處，小慧又將正方形紙片 AO1C1B1繞頂點B1按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，…．按上述方法經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)后，她提出了如下問題：
問題①：若正方形紙片0ABC按上述方法經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，求頂點0經(jīng)過的路程，并求頂點O在此運動過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)．求頂點O經(jīng)過的路程；
問題②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn)，頂點0經(jīng)過的路程是 ？

Answer 1

【答案】解：①如圖所示，正方形紙片OABC經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，頂點O運動所形成的圖形是三段圓弧， ∴頂點O在此過程中經(jīng)過的路程為： 2+ =（1+ ）π，
頂點O在此過程中經(jīng)過的圖形與直線l2圍成的圖形面積為：
×2+ +2×V×1=1+π．
正方形紙片OABC經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，頂點O在此過程中經(jīng)過的路程為：
3+ =（ + ）π，
②正方形紙片OABC經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，頂點O在此過程中經(jīng)過的路程為：
∵ 2+ =（1+ ）π，根據(jù)第四次正方形旋轉(zhuǎn)時O點不動，也就是此時也是正方形紙片OABC經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)的路程；
∴ =20（1+ ）π+ ，
∴正方形紙片OABC經(jīng)過了：20×4+1=81次旋轉(zhuǎn)．

【解析】①根據(jù)正方形旋轉(zhuǎn)3次和5次的路徑，利用弧長計算公式以及扇形面積公式求出即可，②再利用正方形紙片OABC經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)得出旋轉(zhuǎn)路徑，進而得出 =20（1+ ）π+ ，即可得出旋轉(zhuǎn)次數(shù)．
【考點精析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．