Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是梯形，OA∥BC，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)C在y軸的正半軸上．動(dòng)點(diǎn)M在OA上運(yùn)動(dòng)，從O點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)；動(dòng)點(diǎn)N在AB上運(yùn)動(dòng)，從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)．兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都是每秒1個(gè)單位長度，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止，設(shè)兩個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）求線段AB的長；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，MN∥OC？
（3）設(shè)△CMN的面積為S，求S與t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）過點(diǎn)B作BH⊥OA于H，如圖1，在Rt△AHB中運(yùn)用勾股定理就可求出線段AB的長．
（2）過點(diǎn)B作BH⊥OA于H，如圖2，易證△AMN∽△AHB，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可求出t的值．
（3）過點(diǎn)B作BH⊥OA于H，過點(diǎn)N作ND⊥OA于D，如圖3，則有AH=3，OC=BH=4，AB=5，OM=AN=t．易證△ADN∽△AHB，利用相似三角形的性質(zhì)可得AD=

3t

5

，DN=

4t

5

，進(jìn)而有MD=6-

8t

5

，OD=6-

3t

5

，然后運(yùn)用割補(bǔ)法得到S=S_△CMN=S_梯形CODN-S_△COM-S_△MDN=

1

2

（4+

4t

5

）•（6-

3t

5

）-

1

2

×4t-

1

2

（6-

8t

5

）•

4t

5

，然后整理并配方就可解決問題．

解答：解：（1）過點(diǎn)B作BH⊥OA于H，如圖1．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4），
∴OA=6，OH=3，BH=4，
∴AH=3，
∴AB=

BH2+AH2

=5．
∴線段AB的長為5．

（2）過點(diǎn)B作BH⊥OA于H，如圖2，

∵BH⊥OA，CO⊥OA，∴BH∥OC．
∵M(jìn)N∥OC，∴MN∥BH，
∴△AMN∽△AHB，
∴

AM

AH

=

AN

AB

，
∴

6-t

3

=

t

5

．
解得：t=

15

4

．
∴當(dāng)t為

15

4

（秒）時(shí)，MN∥OC．

（3）過點(diǎn)B作BH⊥OA于H，過點(diǎn)N作ND⊥OA于D，如圖3，

則有AH=3，OC=BH=4，AB=5，OM=AN=t．
∵BH⊥OA，ND⊥OA，
∴BH∥ND．
∴△ADN∽△AHB，
∴

AD

AH

=

DN

HB

=

AN

AB

．
∴

AD

3

=

DN

4

=

t

5

，
∴AD=

3t

5

，DN=

4t

5

．
∴MD=6-t-

3t

5

=6-

8t

5

，OD=6-

3t

5

，
∴S=S_△CMN=S_梯形CODN-S_△COM-S_△MDN
=

1

2

（4+

4t

5

）•（6-

3t

5

）-

1

2

×4t-

1

2

（6-

8t

5

）•

4t

5

=

2

5

t²-

16

5

t+12
=

2

5

（t-4）²+

28

5

，其中0≤t≤5．
∵

2

5

＞0，
∴當(dāng)t=4時(shí)，S取到最小值，最小值為

28

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、勾股定理等知識(shí)，用到了割補(bǔ)法、配方法等重要的數(shù)學(xué)方法，有一定的綜合性．