Question

△ABC是等腰直角三角形，△DEG是等腰直角三角形，E，F(xiàn)是中點(diǎn)，BD=7，CD=1，求GF．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：如圖，作輔助線，證明△MED∽△FEG，列出比例式即可解決問題．

解答：解：如圖，過點(diǎn)E作EM⊥AB，交BC于點(diǎn)M；
則∠MEA=90°，而∠DEG=45°，
∴∠MED+∠AEG=45°；
∵E，F(xiàn)是中點(diǎn)，
∴EF∥BC，
∴∠AEF=∠B=45°，即∠GEF+∠AEG=45°，
∴∠MED=∠GEF；
∵EM⊥AB，∠A=90°，
∴EM∥AC，而AE=BE，
∴BM=CM，EM為△ABC的中位線，
∴AC=2EM=2λ；由勾股定理得：
BC=

2

AC=2

2

λ；
∴EF=

1

2

BC=

2

λ；
設(shè)DE=DG=μ，則EG=

2

DE=

2

μ；
∴

EM

MF

=

DE

GE

=

λ

2 λ

=

2

2

，而∠MED=∠GEF，
∴△MED∽△FEG，
∴

MD

GF

=

DE

GE

=

2

2

；
∵BD=7，CD=1，且點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，
∴MC=4，MD=3；
∴GF=3

2

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用等幾何知識(shí)點(diǎn)問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答．