Question

【題目】如圖，已知一次函數y=﹣x+b的圖象經過點A（2，3），AB⊥x軸，垂足為B，連接OA．

（1）求此一次函數的解析式，并求出一次函數與x軸的交點C的坐標；

（2）設點P為直線y=﹣x+b在第一象限內的圖象上的一動點，求△OBP的面積S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的范圍；

（3）設點M為坐標軸上一點，且S△MAC=24，直接寫出所有滿足條件的點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）一次函數的解析式為y=﹣．點C的坐標為（8，0）．

（2）S=﹣（0＜x＜8）．

（3）點M的坐標為M（﹣8，0）或M（24，0）或M（0，12）或M（0，﹣4）．

【解析】

試題分析：（1）將點A的坐標代入一次函數的解析式得：﹣×2+b=3，解得b=4，求得一次函數的解析式為y=﹣+4，將y=0代入解得x=8，點C的坐標為（8，0）；

（2）過點P作PD⊥OC，垂足為D．設點P的坐標為（x，﹣），則DP=，由點A的坐標為（2，3）可知點B的坐標為（2，0），故此OB=2，由三角形的面積公式可知S=；

（3）分為點M在x軸上和y軸上兩種情況畫出圖形，然后再根據三角形的面積公式列出關于點M坐標的方程求解即可．

解：（1）∵將x=2，y=3代入得：﹣×2+b=3，解得：b=4，

∴一次函數的解析式為y=﹣．

∵將y=0代入得：=0，解得x=8．

∴點C的坐標為（8，0）．

（2）如圖1所示：過點P作PD⊥OC，垂足為D．

設點P的坐標為（x，﹣），則DP=．

∵AB⊥OC，A（2，3），

∴點B（2，0）．

∴OB=2．

∴==﹣．

∴S=﹣（0＜x＜8）．

（3）如圖2所示：

①當點M在x軸上且位于點C左側時，設點M的坐標為（a，0），則MC=8﹣a．

∵S△MAC=24，

∴，即．

解得：a=﹣8．

∴點M的坐標為（﹣8，0）．

②當點M位于點M′處時，設點M′的坐標為（a，0），則M′C=a﹣8．

∵S△MAC=24，

∴，即．

解得：a=24．

∴點M的坐標為（24，0）．

如圖3所示：

∵將x=0代入y=﹣得：y=4．

∴點D的坐標為（0，4）．

③當點M位于點D的下方時，設點M的坐標為（0，a），則DM=4﹣a．

∵S△ACM=SMCD﹣S△MDA=24，

∴﹣=24．

解得：a=﹣4．

∴點M的坐標為（0，﹣4）．

④當點M位于點M′處時，設點M的坐標為（0，a），則DM=a﹣4．

∵S△ACM=SMCD﹣S△MDA=24，

∴=24．

解得：a=12．

∴點M的坐標為（0，12）．

綜上所述，點M的坐標為M（﹣8，0）或M（24，0）或M（0，12）或M（0，﹣4）．