Question

如圖，拋物線y=-

1

4

x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（2，0），交y軸于點(diǎn)B（0，

5

2

），直線y=kx-

3

2

過點(diǎn)A與y軸交于點(diǎn)C與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)是D．
（1）求拋物線y=-

1

4

x²+bx+c與直線y=kx-

3

2

的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不同于A、D兩點(diǎn)），過點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線AD于點(diǎn)M，作PN⊥AD于點(diǎn)N，DE⊥y軸于點(diǎn)E．探究：是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PMN和△DCE全等？若存在請求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接將已知點(diǎn)代入拋物線以及直線解析式求出未知數(shù)的值即可；
（2）首先表示出PM的長，再根據(jù)使△PMN和△DCE全等得出必有且僅有PM=CE，結(jié)合拋物線與直線交點(diǎn)得出D點(diǎn)坐標(biāo)，得出|-

1

4

x2-

3

2

x+4|=10求出即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

1

4

x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（2，0），交y軸于點(diǎn)B（0，

5

2

），
∴

0=- 1 4 ×4+2b+c c= 5 2

，
解得：

b=- 3 4 c= 5 2

，
∴拋物線的解析式是：y=-

1

4

x2-

3

4

x+

5

2

，
∵直線y=kx-

3

2

過點(diǎn)A，
∴0=2k-

3

2

，
解得：k=

3

4

，
∴直線的解析式是：y=

3

4

x-

3

2

；

（2）設(shè)P的坐標(biāo)是（x，-

1

4

x²-

3

4

x+

5

2

），則M的坐標(biāo)是（x，

3

4

x-

3

2

）
∴PM=|（-

1

4

x2-

3

4

x+

5

2

）-（

3

4

x-

3

2

）|=|-

1

4

x2-

3

2

x+4|，
解方程組

y=- 1 4 x2- 3 4 x+ 5 2 y= 3 4 x- 3 2

，
解得：

x=-8 y=-7 1 2

，

x=2 y=0

，
∵點(diǎn)D在第三象限，則點(diǎn)D（-8，-7

1

2

）由y=

3

4

x-

3

2

得C （0，-

3

2

）
∴CD=

DE2+CE2

=10，
要使△PMN和△DCE全等，必有且僅有PM=CE，
即|-

1

4

x2-

3

2

x+4|=10，-

1

4

x2-

3

2

x+4=10或-

1

4

x2-

3

2

x+4=-10，
第一個(gè)方程無解，第二個(gè)方程解為：-3±

65

，
∴存在兩個(gè)點(diǎn)P，使△PMN和△DCE全等，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是-3+

65

或-3-

65

．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及二元二次方程組的解法和絕對值得性質(zhì)和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識(shí)，得出要使△PMN和△DCE全等，必有且僅有PM=CE是解題關(guān)鍵．