Question

【題目】如圖，四邊形為直角梯形， ， ，．點從出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向運動；點從同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向運動．其中一個動點到達(dá)終點時，另一個動點也隨之停止運動．過點作垂直軸于點，連接交于，連接．

(1) 求的面積與運動時間的函數(shù)關(guān)系式， 并寫出自變量的取值范圍， 當(dāng)為何值時，的值最大？

(2)是否存在點，使得為直角三角形?若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

(3) 當(dāng)為以為底的等腰三角形時，求值．

(4) 是否存在這樣的值，使直線將的周長和面積同時平分?若存在，求出值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1），當(dāng)時，有；（2）或；（3）；（4）存在，當(dāng)時，直線將的周長和面積同時平分.

【解析】

（1）過點B作BD⊥x軸于D，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得BN=PD=t，OD=BC=3，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得,根據(jù)三角形面積公式即可求出的面積與運動時間的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)題意即可求出t的取值范圍，再利用二次函數(shù)求最值即可；

（2）根據(jù)直角的情況分類討論，分別找出等量關(guān)系列出方程，即可求出t的值；

（3）分別用含t的式子表示出AQ和AM，然后根據(jù)等腰三角形的定義列方程，即可求出t的值；

（4）分別求出直線將的周長平分的t值和直線將的面積平分的t值，如果兩個t值相等即存在，不相等即不存在．

解：（1）過點B作BD⊥x軸于D

易知：四邊形COPN、四邊形NPDB和四邊形CODB均為矩形

∴BN=PD=t，OD=BC=3

∴AD=OA－OD=1

點M從點O到點A所需時間為：OA÷2=2s，點N從點B到點C所需時間為：BC÷1=3s，

∴

化為頂點式，得，其中-1＜0

∴當(dāng)時，有

（2）①當(dāng)時，

∴△AQM為等腰直角三角形

∵QP⊥AM

∴QP為△AQM的中線

解得：

②時，此時M與P重合

∴

解得

綜上，或

（3）∵為以為底的等腰三角形

在Rt△AQP中

∵

∴

解得：

（4）面積平分時，即S△APQ=S△AOC

即

解得：或（不符合實際，故舍去）

周長平分時：．

即

解得

綜上所述：當(dāng)時，直線將的周長和面積同時平分．