Question

如圖，在直角坐標系中，點A的坐標是（0.3），點C是x軸上的一個動點，點C在x軸上移動時，始終保持△ACP是等邊三角形．當點C移動到點O時，得到等邊三角形AOB（此時點P與點B重合）．

（1）點C在移動的過程中，當?shù)冗吶�角形ACP的頂點P在第三象限時（如圖），求證：△AOC≌△ABP；由此你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？

（2）求點C在x軸上移動時，點P所在函數(shù)圖象的解析式．

Answer 1

（1）證明：∵△AOB與△ACP都是等邊三角形，

∴AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60°，

∴∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO，

∴∠CAO=∠PAB，

在△AOC與△ABP中，

∴△AOC≌△ABP（SAS）．

∴∠COA=∠PBA=90°，

∴點P在過點B且與AB垂直的直線上或PB⊥AB或∠ABP=90°．

故結(jié)論是：點P在過點B且與AB垂直的直線上或PB⊥AB或∠ABP=90°；

（2）解：點P在過點B且與AB垂直的直線上．

∵△AOB是等邊三角形，A（0，3），

∴B（，）．

當點C移動到點P在y軸上時，得P（0，﹣3）．

設(shè)點P所在的直線方程為：y=kx+b（k≠0）．把點B、P的坐標分別代入，得

，

解得 ，

所以點P所在的函數(shù)圖象的解析式為：y=x﹣3．