Question

如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，連接AP、CP，作射線BP．
（1）求證：PC平分∠APB；
（2）試探究線段PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）過點(diǎn)A作⊙O的切線交射線于點(diǎn)D．若AD=2，PD=1，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠ABC=∠BAC=60°，再根據(jù)圓周角定理得∠APB=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°，所以∠APC=∠BPC；
（2）首先在線段PC上截取PF=PB，連接BF，進(jìn)而得出△BPA≌△BFC（AAS），即可得出PA+PB=PF+FC=PC；
（3）先證明△ADP∽△BDA，根據(jù)相似的性質(zhì)得AD：DP=DB：DA=PA：AB，可計(jì)算出DB=4，AB=2PA，則BP=BD-DP=3，再證明△ADP∽△CAP，由相似比得到AP²=CP•PD，由（1）的結(jié)論得PC=PB+PA=3+PA，則AP²=（3+AP）•1，解此方程得到AP=

1+ 13

2

，所以AB=2AP=1+

13

，即得到等邊三角形的邊長(zhǎng)，接著利用等邊三角形的外接圓半徑為高的

2

3

進(jìn)行求解．

解答：（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∵∠APB=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°，
∴∠APC=∠BPC，
∴PC平分∠APB；
（2）解：PA+PB=PC，
證明：在線段PC上截取PF=PB，連接BF，
∵PF=PB，∠BPC=60°，
∴△PBF是等邊三角形，
∴PB=BF，∠BFP=60°，
∴∠BFC=180°-∠PFB=120°，
∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠BPA=∠BFC，
在△BPA和△BFC中，

∠PAB=∠BCF ∠APB=∠BFC BP=BF

，
∴△BPA≌△BFC（AAS），
∴PA=FC，
∴PA+PB=PF+FC=PC；
（3）解：∵DA為⊙O的切線，
∴∠DAP=∠DBA，
而∠ADP=∠BDA，
∵△ADP∽△BDA，
∴AD：DP=DB：DA=PA：AB，即2：1=DB：2=PA：AB，
∴DB=4，AB=2PA，
∴BP=BD-DP=3，
∵∠APD=180°-∠BPA=60°，
∴∠APD=∠APC，
∵∠PAD=∠ACP，
∴△ADP∽△CAP，
∴AP：PC=DP：AP，
∴AP²=CP•PD，
而PC=PB+PA=3+PA，
∴AP²=（3+AP）•1，
整理得AP²-AP-3=0，
解得：AP=

1+ 13

2

或AP=

1- 13

2

（舍去），
∴AB=2AP=1+

13

，
∴△ABC的高=

3

2

AB=

3

2

•（1+

13

）=

3

2

+

39

2

，
∴⊙O的半徑=

2

3

•（

3

2

+

39

2

）=

3 + 39

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和切線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，能夠熟練運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．