Question

兩個(gè)三角板ABC，DEF，按如圖所示的位置擺放，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，邊AB與邊DE在同一條直線上（假設(shè)圖形中所有的點(diǎn)，線都在同一平面內(nèi)）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．現(xiàn)固定三角板DEF，將三角板ABC沿射線DE方向平移，當(dāng)點(diǎn)C落在邊EF上時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)三角板平移的距離為x（cm），兩個(gè)三角板重疊部分的面積為y（cm²）．

（1）當(dāng)點(diǎn)C落在邊EF上時(shí)，x=　 cm；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）設(shè)邊BC的中點(diǎn)為點(diǎn)M，邊DF的中點(diǎn)為點(diǎn)N．直接寫出在三角板平移過程中，點(diǎn)M與點(diǎn)N之間距離的最小值．

Answer 1

 解：（1）如圖1所示：作CG⊥AB于G點(diǎn)．，

在Rt△ABC中，由AC=6，∠ABC=30，得

BC==6．

在Rt△BCG中，BG=BC•cos30°=9．

四邊形CGEH是矩形，

CH=GE=BG+BE=9+6=15cm，

故答案為：15；

（2）①當(dāng)0≤x＜6時(shí)，如圖2所示．，

∠GDB=60°，∠GBD=30°，DB=x，得

DG=x，BG=x，重疊部分的面積為y=DG•BG=×x×x=x²

②當(dāng)6≤x＜12時(shí)，如圖3所示．，

BD=x，DG=x，BG=x，BE=x﹣6，EH=（x﹣6）．

重疊部分的面積為y=S_△BDG﹣S_△BEH=DG•BG﹣BE•EH，

即y=×x×x﹣（x﹣6）（x﹣6）

化簡(jiǎn)，得y=﹣x²+2x﹣6；

③當(dāng)12＜x≤15時(shí)，如圖4所示．，

AC=6，BC=6，BD=x，BE=（x﹣6），EG=（x﹣6），

重疊部分的面積為y=S_△ABC﹣S_△BEG=AC•BC﹣BE•EG，

即y=×6×6﹣（x﹣6）（x﹣6），

化簡(jiǎn)，得y=18﹣（x²﹣12x+36）=﹣x²+2x+12；

綜上所述：y=；

（3）如圖5所示作NG⊥DE于G點(diǎn)．，

點(diǎn)M在NG上時(shí)MN最短，

NG是△DEF的中位線，

NG=EF=．

MB=CB=3，∠B=30°，

MG=MB=，

MN_最小=3﹣=．