【題目】如圖,已知拋物線b、c是常數(shù),且c<0與x軸交于A、B兩點點A在點B的左側,與y軸的負半軸交于點C,點A的坐標為-1,0

1b=______,點B的橫坐標為_______上述結果均用含c的代數(shù)式表示;

2連結BC,過點A作直線AE//BC,與拋物線交于點E.點D是x軸上一點,坐標為2,0,當C、D、E三點在同一直線上時,求拋物線的解析式;

32的條件下,點P是x軸下方的拋物線上的一動點,連結PB、PC.設PBC的面積為S.

求S的取值范圍;

PBC的面積S為正整數(shù),則這樣的PBC共有_____個.

【答案】1c+,-2c;2y=x2-x-2;30<S<5;11.

【解析】

試題分析:本題是二次函數(shù)的綜合題,其中涉及到運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式,二次函數(shù)的性質,直線平移的規(guī)律,求兩個函數(shù)的交點坐標,三角形的面積,一元二次方程的根的判別及根與系數(shù)的關系等知識,綜合性較強,有一定難度,運用數(shù)形結合、分類討論及方程思想是解題的關鍵.

1將A-1,0代入y=x2+bx+c,可以得出b=+c;根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系,得出-1xB=,即xB=-2c;

2由y=x2+bx+c,求出此拋物線與y軸的交點C的坐標為0,c,則可設直線BC的解析式為y=kx+c,將B點坐標代入,運用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=x+c;由AEBC,設直線AE得到解析式為y=x+m,將點A的坐標代入,運用待定系數(shù)法求出直線AE得到解析式為y=x+;解方程組,求出點E坐標為1-2c,1-c,將點E坐標代入直線CD的解析式y(tǒng)=-x+c,求出c=-2,進而得到拋物線的解析式為y=x2-x-2;

3分兩種情況進行討論:當-1<x<0時,由0<S<S△ACB,易求0<S<5;當0<x<4時,過點P作PGx軸于點G,交CB于點F.設點P坐標為x,x2-x-2,則點F坐標為x,x-2,PF=PG-GF=-x2+2x,S=PFOB=-x2+4x=-x-22+4,根據(jù)二次函數(shù)的性質求出S最大值=4,即0<S≤4,則0<S<5;

由0<S<5,S為整數(shù),得出S=1,2,3,4.分兩種情況進行討論:當-1<x<0時,根據(jù)△PBC中BC邊上的高h小于△ABC中BC邊上的高AC=,得出滿足條件的△PBC共有4個;當0<x<4時,由于S=-x2+4x,根據(jù)一元二次方程根的判別式,得出滿足條件的△PBC共有7個;則滿足條件的△PBC共有4+7=11個.

試題解析:1b=c+,點B的橫坐標為-2c

2y=x2+c+x+c=x+1)(x+2c,設Ex,x+1)(x+2c))

如圖1,過點E作EHx軸于H.

由于OB=2OC,當AE//BC時,AH=2EH.

所以x+1=x+1)(x+2c.因此x=1-2c.所以E1-2c,1-c

當C、D、E三點在同一直線上時,.所以=

整理,得2c23c-2=0.解得c=-2或c=舍去

所以拋物線的解析式為y=x2-x-2

3當P在BC下方時,過點P作x軸的垂線交BC于F,如圖2

直線BC的解析式為y=x-2

Pm,m2-m-2,那么Pm,m-2,FP=-m2+2m

所以SPBC=SPBF+SPCF=FPxB-xC=2FP=-m2+4m=-m-22+4

因此當P在BC下方時,PBC的最大值為4.

當P在BC上方時,因為SABC=5,所以SPBC<5.

綜上所述,0<S<5.

PBC的面積S為正整數(shù),則這樣的PBC共有11個.

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