【題目】如圖1.在邊長為10的正方形中,點在邊上移動(點不與點,重合),的垂直平分線分別交,于點,,將正方形沿所在直線折疊,則點的對應點為點,點落在點處,與交于點,
(1)若,求的長;
(2)隨著點在邊上位置的變化,的度數(shù)是否發(fā)生變化?若變化,請說明理由;若不變,請求出的度數(shù);
(3)隨著點在邊上位置的變化,點在邊上位置也發(fā)生變化,若點恰好為的中點(如圖2),求的長.
【答案】(1);(2)不變,45°;(3) .
【解析】
(1)由翻折可知:EB=EM,設EB=EM=x,在Rt△AEM中,根據(jù)EM2=AM2+AE2,構(gòu)建方程即可解決問題.
(2)如圖1-1中,作BH⊥MN于H.利用全等三角形的性質(zhì)證明∠ABM=∠MBH,∠CBP=∠HBP,即可解決問題.
(3)如圖2中,作FG⊥AB于G.則四邊形BCFG是矩形,FG=BC,CF=BG.設AM=x,在Rt△DPM中,利用勾股定理構(gòu)建方程求出x,再在Rt△AEM中,利用勾股定理求出BE,EM,AE,再證明AM=EG即可解決問題.
(1)如圖1中,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠A=90°,AB=AD=10,
由翻折可知:EB=EM,設EB=EM=x,
在Rt△AEM中,∵EM2=AM2+AE2,
∴x2=42+(10-x)2,
∴x=.
∴BE=.
(2)如圖1-1中,作BH⊥MN于H.
∵EB=EM,
∴∠EBM=∠EMB,
∵∠EMN=∠EBC=90°,
∴∠NMB=∠MBC,
∵AD∥BC,
∴∠AMB=∠MBC,
∴∠AMB=∠BMN,
∵BA⊥MA,BH⊥MN,
∴BA=BH,
∵∠A=∠BHM=90°,BM=BM,BA=BH,
∴Rt△BAM≌△BHM(HL),
∴∠ABM=∠MBH,
同法可證:∠CBP=∠HBP,
∵∠ABC=90°,
∴∠MBP=∠MBH+∠PBH=∠ABH+∠CBH=∠ABC=45°.
∴∠PBM=45°.
(3)如圖2中,作FG⊥AB于G.則四邊形BCFG是矩形,FG=BC,CF=BG.設AM=x,
∵PC=PD=5,
∴PM+x=5,DM=10-x,
在Rt△PDM中,(x+5)2=(10-x)2+25,
∴x=,
∴AM=,
設EB=EM=m,
在Rt△AEM中,則有m2=(10-m)2+()2,
∴m= ,
∴AE=10-,
∵AM⊥EF,
∴∠ABM+∠GEF=90°,∠GEF+∠EFG=90°,
∴∠ABM=∠EFG,
∵FG=BC=AB,∠A=∠FGE=90°,
∴△BAM≌△FGE(AAS),
∴EG=AM= ,
∴CF=BG=AB-AE-EG=10- .
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線y=x+與反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象交于A(-4,a)、B(-1,b)兩點,AC⊥x軸于C,BD⊥y軸于D.
(1)求a 、b及k的值;
(2)連接OA,OB,求△AOB的面積.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A、C、F在坐標軸上,E是OA的中點,四邊形AOCB是矩形,四邊形BDEF是正方形,若點C的坐標為(3,0),則點D的坐標為( 。
A. (1,2.5)B. (1,1+ )C. (1,3)D. (﹣1,1+ )
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【題目】如圖,AD是△ABC的角平分線,DE,DF分別是△ABD和△ACD的高,得到下列四個結(jié)論:
①AD和EF互相垂直平分;
②AE=AF;
③當∠BAC=90°時,AD=EF;
④DE是AB的垂直平分線.
其中正確的是_________________(填序號).
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【題目】如圖,中,,,,點是邊上一定點,且,點是線段上一動點,連接,以為斜邊在的右側(cè)作等腰直角.當點從點出發(fā)運動至點停止時,點的運動的路徑長為_________.
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,P是BA延長線上一點,CG是⊙O的弦∠PCA=∠ABC,CG⊥AB,垂足為D
(1)求證:PC是⊙O的切線;
(2)求證:;
(3)過點A作AE∥PC交⊙O于點E,交CD于點F,連接BE,若sin∠P=,CF=5,求BE的長.
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【題目】已知一次函數(shù)y=(2m+4)x+(3﹣n).
(1)當m、n是什么數(shù)時,y隨x的增大而增大;
(2)當m、n是什么數(shù)時,函數(shù)圖象經(jīng)過原點;
(3)若圖象經(jīng)過一、二、三象限,求m、n的取值范圍.
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【題目】如圖,某水平地面上建筑物的高度為AB,在點D和點F處分別豎立高是2米的標桿CD和EF,兩標桿相隔52米,并且建筑物AB,標桿CD和EF在同一豎直平面內(nèi),從標桿CD后退2米到點G處,在G處測得建筑物頂端A和標桿頂端C在同一條直線上;從標桿FE后退4米到點H處,在H處測得建筑物頂端A和標桿頂端E在同一條直線上,求建筑物的高.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+3x+c經(jīng)過A(﹣1,0),B(4,0)兩點,與y軸交于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點P在第一象限的拋物線上,且點P的橫坐標為t,過點P向x軸作垂線交直線BC于點Q,設線段PQ的長為m,求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出m的最大值;
(3)在x軸上是否存在點E,使以點B,C,E為頂點的三角形為等腰三角形?如果存在,直接寫出E點坐標;如果不存在,請說明理由.
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