Question

已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB的平分線交BC于D，DE⊥AB，垂足為E，連結(jié)CE，交AD于點(diǎn)H．
（1）求證：AD⊥CE；
（2）如果過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AD于點(diǎn)F，連結(jié)CF，猜想四邊形是什么圖形？并證明你的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定

專題：

分析：（1）欲證明AD⊥CE，只需證得△ACE為等腰三角形；
（2）四邊形CDEF是菱形．由（1）的結(jié)論結(jié)合已知條件可以推知對(duì)角線FD、CE相互垂直平分．

解答：證明：（1）如圖，∵∠ACB=90°，∠CAB的平分線交BC于D，DE⊥AB，
∴在△ACD與△AED中，

∠CAD=∠EAD ∠ACD=∠AED AD=AD

，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC=AE，
∴AH⊥CE，即AD⊥CE；

（2）四邊形CDEF是菱形．理由如下：
∵由（1）知，AC=AE，AD⊥CE，
∴CH=EH，
∵EF∥BC，
∴

EH

CH

=

FH

HD

，
∴FH=HD，
∴四邊形CDEF是菱形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形與平行四邊形的判定，以及角平分線的性質(zhì)，題目綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵是需要同學(xué)們熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)．