Question

【題目】如圖1，點(diǎn)M，N把線(xiàn)段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱(chēng)點(diǎn)M，N是線(xiàn)段AB的勾股分割點(diǎn)

（1）已知點(diǎn)M，N是線(xiàn)段AB的勾股分割點(diǎn)，若AM=3，MN=4,則BN的長(zhǎng)為__________；

（2）已知點(diǎn)C是線(xiàn)段AB上的一定點(diǎn)，其位置如圖2所示，請(qǐng)?jiān)贐C上畫(huà)一點(diǎn)D，使C，D是線(xiàn)段AB的勾股分割點(diǎn)（要求尺規(guī)作圖，不寫(xiě)畫(huà)法，保留作圖痕跡，畫(huà)出一種情形即可）

Answer 1

【答案】或5

【解析】分析：（1）①當(dāng)MN為最大線(xiàn)段時(shí)，由勾股定理求出BN；②當(dāng)BN為最大線(xiàn)段時(shí)，由勾股定理求出BN即可；

（2）①在AB上截取CE=CA；②作AE的垂直平分線(xiàn)，并截取CF=CA；③連接BF，并作BF的垂直平分線(xiàn)，交AB于D.

詳解：（1）①當(dāng)MN為最大線(xiàn)段時(shí)，

∵點(diǎn)M，N是線(xiàn)段AB的勾股分割點(diǎn)，

∴BM=，

②當(dāng)BN為最大線(xiàn)段時(shí)，

∵點(diǎn)M，N是線(xiàn)段AB的勾股分割點(diǎn)，

∴BN=，

綜上，BN=或5；

（2）作法：①在AB上截取CE=CA；

②作AE的垂直平分線(xiàn)，并截取CF=CA；

③連接BF，并作BF的垂直平分線(xiàn)，交AB于D；

點(diǎn)D即為所求；如圖所示．