(2013•天水)如圖1,在平面直角坐標系中,已知△AOB是等邊三角形,點A的坐標是(0,4),點B在第一象限,點P是x軸上的一個動點,連接AP,并把△AOP繞著點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn),使邊AO與AB重合,得到△ABD.
(1)求直線AB的解析式;
(2)當點P運動到點(,0)時,求此時DP的長及點D的坐標;
(3)是否存在點P,使△OPD的面積等于?若存在,請求出符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)過點B作BE⊥y軸于點E,作BF⊥x軸于點F.依題意得BF=OE=2,利用勾股定理求出OF,然后可得點B的坐標.設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b,把已知坐標代入可求解.
(2)由△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到,證明△ABD≌△AOP.AP=AD,∠DAB=∠PAO,∠DAP=∠BAO=60°,△ADP是等邊三角形.利用勾股定理求出DP.在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°.利用三角函數(shù)求出BG=BD•cos60°,DG=BD•sin60°.然后求出OH,DH,然后求出點D的坐標.
(3)本題分三種情況進行討論,設(shè)點P的坐標為(t,0):
①當P在x軸正半軸上時,即t>0時,關(guān)鍵是求出D點的縱坐標,方法同(2),在直角三角形DBG中,可根據(jù)BD即OP的長和∠DBG的正弦函數(shù)求出DG的表達式,即可求出DH的長,根據(jù)已知的△OPD的面積可列出一個關(guān)于t的方程,即可求出t的值.
②當P在x軸負半軸,但D在x軸上方時.即<t≤0時,方法同①類似,也是在直角三角形DBG用BD的長表示出DG,進而求出GF的長,然后同①.
③當P在x軸負半軸,D在x軸下方時,即t≤時,方法同②.
綜合上面三種情況即可求出符合條件的t的值.
解答:解:(1)如圖1,過點B作BE⊥y軸于點E,作BF⊥x軸于點F.由已知得:
BF=OE=2,OF==,
∴點B的坐標是(,2)
設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b(k≠0),則有
解得
∴直線AB的解析式是y=x+4;

(2)如圖2,∵△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到,
∴△ABD≌△AOP,
∴AP=AD,∠DAB=∠PAO,
∴∠DAP=∠BAO=60°,
∴△ADP是等邊三角形,
∴DP=AP=
如圖2,過點D作DH⊥x軸于點H,延長EB交DH于點G,則BG⊥DH.
方法(一)
在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°.
∴BG=BD•cos60°=×=
DG=BD•sin60°=×=
∴OH=EG=,DH=
∴點D的坐標為(,
方法(二)
易得∠AEB=∠BGD=90°,∠ABE=∠BDG,∴△ABE∽△BDG,
;而AE=2,BD=OP=,BE=2,AB=4,
則有,解得BG=,DG=;
∴OH=,DH=;
∴點D的坐標為().

(3)假設(shè)存在點P,在它的運動過程中,使△OPD的面積等于
設(shè)點P為(t,0),下面分三種情況討論:
①當t>0時,如圖,BD=OP=t,DG=t,
∴DH=2+t.
∵△OPD的面積等于,
,
解得,(舍去)
∴點P1的坐標為(,0).
②∵當D在x軸上時,根據(jù)勾股定理求出BD==OP,
∴當<t≤0時,如圖,BD=OP=-t,DG=-t,
∴GH=BF=2-(-t)=2+t.
∵△OPD的面積等于,

解得,,
∴點P2的坐標為(,0),點P3的坐標為(,0).
③當t≤時,如圖3,BD=OP=-t,DG=-t,

∴DH=-t-2.
∵△OPD的面積等于,
(-t)【-(2+t)】=,
解得(舍去),
∴點P4的坐標為(,0),
綜上所述,點P的坐標分別為P1,0)、P2,0)、P3,0)、
P4,0).
點評:本題綜合考查的是一次函數(shù)的應(yīng)用,難度較大.
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8
9
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4-
8
9
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4x
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