【題目】如圖,已知l1⊥l2,⊙O與l1,l2都相切,⊙O的半徑為2cm.矩形ABCD的邊AD,AB分別與l1,l2重合,AB=cm,AD=4cm.若⊙O與矩形ABCD沿l1同時(shí)向右移動(dòng),⊙O的移動(dòng)速度為3cm/s,矩形ABCD的移動(dòng)速度為4cm/s,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(s).

(1)如圖①,連接OA,AC,則∠OAC的度數(shù)為 °;

(2)如圖②,兩個(gè)圖形移動(dòng)一段時(shí)間后,⊙O到達(dá)⊙O1的位置,矩形ABCD到達(dá)A1B1C1D1的位置,此時(shí)點(diǎn)O1,A1,C1恰好在同一直線上,求圓心O移動(dòng)的距離(即OO1的長(zhǎng));

(3)在移動(dòng)過(guò)程中,圓心O到矩形對(duì)角線AC所在直線的距離在不斷變化,設(shè)該距離為d(cm).當(dāng)d<2時(shí),求t的取值范圍.(解答時(shí)可以利用備用圖畫(huà)出相關(guān)示意圖)

【答案】1105;(2;(3t.

【解析】試題分析:(1⊙Ol1l2都相切,連接圓心和兩個(gè)切點(diǎn),等正方向.OA即為正方形的對(duì)角線,得到∠OAD=450,再在Rt△ADC中,由銳角三角函數(shù)求∠DAC=600,從而求得∠OAC的度數(shù)1050.

2)連接O1與切點(diǎn)E,則O1E=2,O1El1,利用O1EA1∽△D1C1E1,A1E=,根據(jù)2+O1O+A1E=AA1,可求t,進(jìn)而求得圓心移動(dòng)的距離3t=.

3)圓心O到對(duì)角線AC的距離d2,即dr.說(shuō)明⊙OAC相交,所以出找兩個(gè)臨界點(diǎn)的t值,即⊙OAC相切.運(yùn)動(dòng)中存在兩個(gè)相切的位置.分別求兩個(gè)相切時(shí)t的值,即可得出dr時(shí),t的取值

試題解析:解:(11050.

2O1A1,C1恰好在同一直線上時(shí),設(shè)⊙OAC的切點(diǎn)為E,連接O1E,如答圖1,

可得O1E=2,O1E⊥l1,

RtA1D1C1中,A1D1=4,D1C1=,

tanC1A1D1=∴∠C1A1D1=600

RtA1O1E, O1A1E=C1A1D1=600A1E=,

,.

OO1=3t=.

3)如答圖2,

當(dāng)直線AC⊙O第一次相切時(shí),設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t1.如位置一,此時(shí)⊙O移動(dòng)到⊙O2的位置,矩形ABCD移動(dòng)到A2B2C2D2的位置.

設(shè)⊙O2與直線l1、A2C2分別相切于點(diǎn)FG, 連接O2F、O2G、O2A2

∴O2F⊥l1、O2G⊥A2C2.

又由(2)可得∠C2A2D2=600于,∴∠GA2F=1200∴∠O2A2F=600.

RtO2A2F中,O2F=2,A2F=.

OO2=3t1, ,解得.

當(dāng)點(diǎn)O1A1,C1恰好在同一直線上時(shí)為位置二,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t2.由(2)可得.

當(dāng)直線AC⊙O第二次相切時(shí),設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t3.如位置3,由題意知,從位置一到位置二所用時(shí)間與位置二到位置三所用時(shí)間相等.

,即,解得.

綜上所述,當(dāng)d<2時(shí),t的取值范圍為t.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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求證:(1)BC=AD;

(2)△OAB是等腰三角形.

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(1)求m的值及一次函數(shù)的表達(dá)式.

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某種在同一平面進(jìn)行傳動(dòng)的機(jī)械裝置如圖14-1,圖14-2是它的示意圖.其工作原理是:滑塊Q在平直滑道l上可以左右滑動(dòng),在Q滑動(dòng)的過(guò)程中,連桿PQ也隨之運(yùn)動(dòng),并且PQ帶動(dòng)連桿OP繞固定點(diǎn)O擺動(dòng).在擺動(dòng)過(guò)程中,兩連桿的接點(diǎn)P在以OP為半徑的⊙O上運(yùn)動(dòng).?dāng)?shù)學(xué)興趣小組為進(jìn)一步研究其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí),過(guò)點(diǎn)OOH ⊥l于點(diǎn)H,并測(cè)得OH = 4分米,PQ = 3分米,OP = 2分米.

解決問(wèn)題

1)點(diǎn)Q與點(diǎn)O間的最小距離是 分米;點(diǎn)Q與點(diǎn)O間的最大距離是 分米;點(diǎn)Ql上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是 分米.

2

如圖14-3,小明同學(xué)說(shuō):當(dāng)點(diǎn)Q滑動(dòng)到點(diǎn)H的位置時(shí),PQ⊙O是相切的.你認(rèn)為他的判斷對(duì)嗎?為什么?

3小麗同學(xué)發(fā)現(xiàn):當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OH上時(shí),點(diǎn)Pl的距離最。事實(shí)上,還存在著點(diǎn)Pl距離最大的位置,此時(shí),點(diǎn)Pl的距離是 分米;

當(dāng)OP繞點(diǎn)O左右擺動(dòng)時(shí),所掃過(guò)的區(qū)域?yàn)樯刃危筮@個(gè)扇形面積最大時(shí)圓心角的度數(shù).

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