Question

如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，AB⊥x軸于B，AC⊥y軸于C，點(diǎn)C（0，m），A（n，m），且（m-4）²+n²-8n=-16，過C點(diǎn)作∠ECF分別交線段AB、OB于E、F兩點(diǎn)．
（1）求A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若OF+BE=AB，求證：CF=CE；
（3）如圖（2），若∠ECF=45°，求證：OF+AE=EF．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)（m-4）²+n²-8n=-16即可求得m、n的值，即可求得A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)勾股定理可以分別求得CF，CE的長(zhǎng)，即可解題；
（3）將△ACE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則FG=AE+OF，CG=CE，即可證明△GCF≌△ECF，可得FG=EF，即可解題．

解答：解：（1）點(diǎn)A坐標(biāo)滿足，（m-4）²+n²-8n=-16，
整理得：（m-4）²+（n-4）²=0，
∴m=n=4，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)（4，4）；
（2）∵OF+BE=AB，AE+BE=AB，
∴OF=AE，
∵CE=

AC2+AE2

，CF=

OF2+OC2

，AC=CO，
∴CF=CE；
（3）將△ACE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則FG=AE+OF，CG=CE，

∵∠ECF=45°，
∴∠OCF+∠ACE=45°，∴∠GCF=45°，
在△GCF和△ECF中，

CE=CG ∠ECF=∠GCF=45° CF=CF

，
∴△GCF≌△ECF（SAS），
∴FG=EF，
∵FG=AE+OF，
∴EF=AE+OF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△GCF≌△ECF是解題的關(guān)鍵．