【題目】如圖,O為原點,線段AB的兩個端點A(0,2),B(1,0)分別在y軸和x軸的正半軸上,點C為線段AB的中點,現(xiàn)將線段BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連結(jié)CD,某拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點D、點E(1,1).
(1)若該拋物線過原點O,則a=;
(2)若點Q在拋物線上,且滿足∠QOB與∠BCD互余,要使得符合條件的Q點的個數(shù)是4個,則a的取值范圍是 .
【答案】
(1)﹣
(2)a<﹣ 或a>
【解析】解:(1)①過點D作DF⊥x軸于點F,如圖1,
∵∠DBF+∠ABO=90°,∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠DBF=∠BAO,
又∵∠AOB=∠BFD=90°,AB=BD,
在△AOB和△BFD中,
,
∴△AOB≌△BFD(AAS)
∴DF=BO=1,BF=AO=2,
∴D的坐標(biāo)是(3,1),
把D(3,1),E(1,1),O(0,0)代入y=ax2+bx+c,
得 ,
解得a=﹣ ,
故答案為:﹣ ;
( 2 )如圖2,
∵D(3,1),E(1,1),
拋物線y=ax2+bx+c過點E、D,代入可得 ,解得 ,所以y=ax2﹣4ax+3a+1.
分兩種情況:
①當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c開口向下時,若滿足∠QOB與∠BCD互余且符合條件的Q點的個數(shù)是4個,則點Q在x軸的上、下方各有兩個.
(i)當(dāng)點Q在x軸的下方時,直線OQ與拋物線有兩個交點,滿足條件的Q有2個;
(ii)當(dāng)點Q在x軸的上方時,要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個交點,拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點必須在x軸的正半軸上,與y軸的交點在y軸的負(fù)半軸,所以3a+1<0,解得a<﹣ ;
②當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c開口向上時,點Q在x軸的上、下方各有兩個,
(i)當(dāng)點Q在x軸的上方時,直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個交點,符合條件的點Q有兩個;
(ii)當(dāng)點Q在x軸的下方時,要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個交點,符合條件的點Q才兩個.
根據(jù)(2)可知,要使得∠QOB與∠BCD互余,則必須∠QOB=∠BAO,
∴tan∠QOB=tan∠BAO= = ,此時直線OQ的斜率為﹣ ,則直線OQ的解析式為y=﹣ x,要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個交點,所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣ x有兩個不相等的實數(shù)根,所以△=(﹣4a+ )2﹣4a(3a+1)>0,即4a2﹣8a+ >0,解得a> (a< 舍去)
綜上所示,a的取值范圍為a<﹣ 或a> .
故答案為:a<﹣ 或a> .
(1)過點D作DF⊥x軸于點F,易證△AOB≌△BFD,從而求出點D的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式可得a的值;
(2)把D、E的坐標(biāo)代入拋物線y=ax2+bx+c可得y=ax2﹣4ax+3a+1.然后分拋物線y=ax2+bx+c開口向下和開口向上來討論求解.
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【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,Rt△AOB的兩條直角邊OA,OB分別在x軸的負(fù)半軸,y軸的負(fù)半軸上,且OA=2,OB=1.將Rt△AOB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,再把所得的像沿x軸正方向平移1個單位,得△CDO.
(1)寫出點A,B,C,D的坐標(biāo);
(2)求點A和點C之間的距離.
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【題目】 我們定義:如圖1、圖2、圖3,在△ABC中,把AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180°)得到AB′,把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β得到AC′,連接B′C′,當(dāng)α+β=180°時,我們稱△AB'C′是△ABC的“旋補三角形”,△AB′C′邊B'C′上的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”,點A叫做“旋補中心”.圖1、圖2、圖3中的△AB′C′均是△ABC的“旋補三角形”.
(1)①如圖2,當(dāng)△ABC為等邊三角形時,“旋補中線”AD與BC的數(shù)量關(guān)系為:AD= BC;
②如圖3,當(dāng)∠BAC=90°,BC=8時,則“旋補中線”AD長為 .
(2)在圖1中,當(dāng)△ABC為任意三角形時,猜想“旋補中線”AD與BC的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.
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【題目】如圖,正△ABC的邊長為2,以BC邊上的高AB1為邊作正△AB1C1,△ABC與△AB1C1公共部分的面積記為S1;再以正△AB1C1邊B1C1上的高AB2為邊作正△AB2C2,△AB1C1與△AB2C2公共部分的面積記為S2;…,以此類推,則Sn=____.(用含n的式子表示)
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【題目】解放戰(zhàn)爭時期,某天江南某游擊隊從村莊A處出發(fā)向正東方向行進(jìn),此時有一支殘匪在游擊隊的東北方向B處,殘匪沿北偏東60°方向向C村進(jìn)發(fā),游擊隊步行到A′(A′在B的正南方向)處時,突然接到上級命令,決定改變行進(jìn)方向,沿北偏東30°方向趕往C村,問:游擊隊的進(jìn)發(fā)方向A′C與殘匪的行進(jìn)方向BC至少成多大角度時,才能保證C村村民不受傷害?
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【題目】在初三綜合素質(zhì)評定結(jié)束后,為了了解年級的評定情況,現(xiàn)對初三某班的學(xué)生進(jìn)行了評定等級的調(diào)查,繪制了如下男女生等級情況折線統(tǒng)計圖和全班等級情況扇形統(tǒng)計圖.
(1)調(diào)查發(fā)現(xiàn)評定等級為合格的男生有2人,女生有1人,則全班共有名學(xué)生.
(2)補全女生等級評定的折線統(tǒng)計圖.
(3)根據(jù)調(diào)查情況,該班班主任從評定等級為合格和A的學(xué)生中各選1名學(xué)生進(jìn)行交流,請用樹形圖或表格求出剛好選中一名男生和一名女生的概率.
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【題目】 如圖,正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1,每個小正方形的頂點叫作格點.△ABC的三個頂點A,B,C都在格點上,將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△AB′C′.
(1)在正方形網(wǎng)格中,畫出△AB'C′;
(2)畫出△AB′C′向左平移4格后的△A′B″C″;
(3)計算線段AB在變換到AB′的過程中掃過區(qū)域的面積.
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【題目】P為等邊△ABC內(nèi)的一點,PA=10,PB=6,PC=8,將△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°到△CBP′位置.
(1)判斷△BPP′的形狀,并說明理由;
(2)求∠BPC的度數(shù).
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【題目】已知∠BOC=60°,OF平分∠BOC.若AO⊥BO,OE平分∠AOC,則∠EOF的度數(shù)是( )
A. 45°
B. 15°
C. 30°或60°
D. 45°或15°
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