Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過A（-1，0）、B（2，-3）并以直線x=1為對(duì)稱軸．
（1）求此函數(shù)解析式；
（2）在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使PA=PB？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：計(jì)算題

分析：（1）先根據(jù)拋物線的對(duì)稱性確定拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），則可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），然后把B點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可；
（2）設(shè)P（1，t），利用兩點(diǎn)間的距離公式得到（1+1）²+t²=（1-2）²+（t+3）²，由于解得t=-1，則可判斷存在一點(diǎn)P，使PA=PB，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1）．

解答：解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
∴點(diǎn)A（-1，0）的對(duì)稱點(diǎn)為（3，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
把B（2，-3）代入得a•（2+1）（2-3）=-3，解得a=1，
∴二次函數(shù)解析式為y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3；
（2）存在．
設(shè)P（1，t），
∵PA=PB，
∴（1+1）²+t²=（1-2）²+（t+3）²，解得t=-1，
∴滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．