Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，以為邊在軸上方作正方形，點(diǎn)是軸上一動點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線與軸交于點(diǎn)．

（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式；

（2）當(dāng)點(diǎn)在線段（點(diǎn)不與重合）上運(yùn)動至何處時(shí)，線段的長有最大值？并求出這個最大值；

（3）在第四象限的拋物線上任取一點(diǎn)，連接．請問：的面積是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）時(shí)，線段有最大值．最大值是；（3）時(shí)，的面積有最大值，最大值是，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【解析】

（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

（2）設(shè)，則，由得出比例線段，可表示的長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出線段的最大值；

（3）過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，由即可求解．

解：（1））∵拋物線經(jīng)過，，

把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，，

解得：，

故拋物線函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為；

（2）∵，點(diǎn)，

∴，

∵正方形中，，

∴，

，

∴，

又∵，

∴，

∴，

設(shè)，則，

∴，

∴，

∵，

∴時(shí)，線段長有最大值，最大值為．

即時(shí)，線段有最大值．最大值是．

（3）存在．

如圖，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，

∵拋物線的解析式為，

∴，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)直線的解析式為，

∴，

∴，

∴直線的解析式為，

設(shè)，則，

∴，

∴，

∵，

∴時(shí)，的面積有最大值，最大值是，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．