【題目】在矩形ABCD中,E為CD的中點,H為BE上的一點, ,連接CH并延長交AB于點G,連接GE并延長交AD的延長線于點F.

(1)求證:
(2)若∠CGF=90°,求 的值.

【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,

∴CD∥AB,AD=BC,AB=CD,AD∥BC,

∴△CEH∽△GBH,


(2)解:作EM⊥AB于M,如圖所示:

則EM=BC=AD,AM=DE,

∵E為CD的中點,

∴DE=CE,

設(shè)DE=CE=3a,則AB=CD=6a,

由(1)得: =3,

∴BG= CE=a,

∴AG=5a,

∵∠EDF=90°=∠CGF,∠DEF=∠GEC,

∴△DEF∽△GEC,

,

∴EGEF=DEEC,

∵CD∥AB,

= ,

,

∴EF= EG,

∴EG EG=3a3a,

解得:EG= a,

在Rt△EMG中,GM=2a,

∴EM= = a,

∴BC= a,

= =3


【解析】(1)根據(jù)相似三角形判定的方法,判斷出△CEH∽△GBH,即可推得 .(2)作EM⊥AB于M,則EM=BC=AD,AM=DE,設(shè)DE=CE=3a,則AB=CD=6a,由(1)得: =3,得出BG= CE=a,AG=5a,證明△DEF∽△GEC,由相似三角形的性質(zhì)得出EGEF=DEEC,由平行線證出 ,得出EF= EG,求出EG= a,在Rt△EMG中,GM=2a,由勾股定理求出BC=EM= a,即可得出結(jié)果.此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)勾股定理等知識;熟練掌握矩形的性質(zhì),證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握矩形的四個角都是直角,矩形的對角線相等,以及對相似三角形的判定與性質(zhì)的理解,了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.

練習冊系列答案
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,

,,

,

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