Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過C作AB的垂線CD交AB于D，過A作∠BAC的角平分線AE交BC于E，AE交CO于H，過E作EF⊥AB交AB于F，連接HF，求證：四邊形CHFE為菱形．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定

專題：證明題

分析：根據(jù)全等三角形的判定定理HL進(jìn)行證明Rt△AEF≌Rt△AEC（HL），得到FE=EC；根據(jù)平行線EF∥CD的性質(zhì)、∠BAC平分線的性質(zhì)以及等量代換推知∠HEC=∠CHE，易證CH=CE；從而根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形進(jìn)行判斷．

解答：證明：∵∠ACB=90°，
∴AC⊥EC．
又∵EF⊥AB，AE是∠BAC的平分線，
∴FE=CE．
在Rt△AEF與Rt△AEC中，

FE=CE AE=AE

，
∴Rt△AEF≌Rt△AEC（HL）；
∴FE=EC，
∵CD是AB邊上的高，
∴CD⊥AB．
又∵EF⊥AB，
∴EF∥CD，
∴∠CHE=∠FEA．
∵Rt△AEF≌Rt△AEC，
∴∠FEA=∠CEA，
∴∠CEA=∠CHE，即∠CEH=∠CHE，
∴CE=CH，
∴FE=EC=HC．
又∵EF∥CD，即FE∥FC，
∴四邊形GECF是菱形．

點(diǎn)評：本題考查了菱形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)．菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：
①定義；
②四邊相等；
③對角線互相垂直平分．