Question

【題目】問(wèn)題探究：

（1）如圖①，已知等邊△ABC，邊長(zhǎng)為4，則△ABC的外接圓的半徑長(zhǎng)為　 　．

（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB＝4，對(duì)角線BD與邊BC的夾角為30°，點(diǎn)E在為邊BC上且BE＝BC，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PE，PC，求△PEC周長(zhǎng)的最小值．

問(wèn)題解決：

（3）為了迎接新年的到來(lái)，西安城墻舉辦了迎新年大型燈光秀表演．其中一個(gè)鐳射燈距城墻30米，鐳射燈發(fā)出的兩根彩色光線夾角為60°，如圖③，若將兩根光線（AB，AC）和光線與城墻的兩交點(diǎn)的連接的線段（BC）看作一個(gè)三角形，記為△ABC，那么該三角形周長(zhǎng)有沒(méi)有最小值？若有，求出最小值，若沒(méi)有，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）△ABC的周長(zhǎng)最小值為60 ．

【解析】

（1）作△ABC外接圓，作直徑AD，連接BD，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出∠C＝60°，根據(jù)圓周角定理求出∠D＝∠C＝60°，解直角三角形求出AD即可．

（2）△PEC周長(zhǎng)的最小實(shí)質(zhì)是PE+PC，轉(zhuǎn)化為將軍飲馬模型求出P點(diǎn)，然后利用勾股定理即可求出E′C即可解答，

（3）先由定角定高可知BC的最小值為三角形是等腰三角形AB＝AC時(shí)，BC最小，而求AB+AC，可以先將A點(diǎn)沿BC方向平移BC，構(gòu)造平行四邊形將AB轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)，則AB+AC最小轉(zhuǎn)化為AC+CD最小，作A點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′D，與BC交點(diǎn)與C重合，此時(shí)BC、AB+AC同時(shí)取最小值，即可知三角形周長(zhǎng)有沒(méi)有最小值．

解：（1）如圖，作三角形外接圓⊙O，作直徑AD，連接BD，

∵等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，AD為直徑，

∴∠C＝60°＝∠D，∠ABD＝90°，

∵sin∠D＝，

∴AD＝

∴⊙0的半徑是．

故答案為；

（2）如圖2，作點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′C交BD于P，連接PE，此時(shí)△PEC周長(zhǎng)周長(zhǎng)最�。�

連接BE′，過(guò)E′作E′H⊥BC，

∵∠DBC＝30°，AB＝CD＝4，

∴BC＝4，

又∵BE＝BC．

∴BE＝

∵點(diǎn)E′是關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)E

∴∠EBH＝60°，BE′＝BE＝，

∴BH＝，E′H＝，

∴HC＝，

∴E′C＝

∵△PEC周長(zhǎng)＝PC+PE+EC＝PE′+EC＝

（3）如圖3，∵∠BAC＝60°，AH＝30米，

∴當(dāng)AB＝AC時(shí)，邊BC取最小值，

∴此時(shí)BC＝AC＝20，

作ABCD，作A點(diǎn)關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′D，AB+AC＝CD+A′C，

當(dāng)A′，C，D在一條直線上時(shí)，AB+AC最小，

此時(shí)，△ABC應(yīng)為等邊三角形，AB+AC＝

∵AB+AC和BC的最小值能夠同時(shí)取到，

故△ABC的周長(zhǎng)最小值為．