Question

在平面直角坐標(biāo)系中的矩形OABC．如圖所示，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-2，4）．
（1）把矩形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使AB的對(duì)應(yīng)邊A′B′經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，
①試求C′的坐標(biāo)；
②求線段BC掃過的面積；
（2）把矩形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得矩形OPQR，連接AP，作直線OQ和經(jīng)過B，O，R，三點(diǎn)的拋物線．
①求拋物線和直線OQ的解析式；
②問能否在直線OQ上找到一點(diǎn)M，在拋物線上找到一點(diǎn)N，使以M，N，A，P為頂點(diǎn)的四邊形是以AP為邊的平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）過點(diǎn)C′作C′H⊥y軸于點(diǎn)H，連接OB，如圖1．①運(yùn)用三角函數(shù)及勾股定理即可求出∠COC′、C′H、OH，就可得到點(diǎn)C′的坐標(biāo)；②只需運(yùn)用割補(bǔ)法就可解決問題；
（2）①只需運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出拋物線和直線OQ的解析式；
②可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2m，m），將平行四邊形分為兩種情況（?APMN和?APNM）進(jìn)行討論，然后運(yùn)用平移的方法得到點(diǎn)M與點(diǎn)N坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而得到點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2m-2，m-2）或（2m+2，m+2），然后將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入拋物線的解析式就可解決問題．

解答：解：（1）過點(diǎn)C′作C′H⊥y軸于點(diǎn)H，連接OB，如圖1．
①由題可知：OA′=OA=2，OC′=OC=4，
∠B′A′O=∠BAO=90°，∠A′OC′=∠AOC=90°．
在Rt△OA′C中，cos∠A′OC=

OA′

OC

=

1

2

，
∴∠A′OC=60°，
∴∠COC′=30°．
∴C′H=

1

2

OC′=2，OH=

42-22

=2

3

，
∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（2，2

3

）；
②由旋轉(zhuǎn)不變性可得S_△OC′B′=S_△OCB，
∴S_陰影=（S_扇形OBB′+S_△OC′B′）-（S_扇形OCC′+S_△OCB）
=S_扇形OBB′-S_扇形OCC′
=

30πOB2

360

-

30πOC2

360

=

π

12

（OB²-OC²）
=

π

12

BC²
=

π

12

×4
=

π

3

．
∴線段BC掃過的面積為

π

3

．

（2）①由旋轉(zhuǎn)可得：OR=OC=4，QR=BC=2，
∴點(diǎn)R（4，0），點(diǎn)Q（4，2）．
設(shè)拋物線的解析式為y=ax（x-4），
則有a×（-2）×（-2-4）=4，
解得：a=

1

3

，
∴拋物線的解析式為y=

1

3

x（x-4）．
設(shè)直線OQ的解析式為y=kx，
則有4k=2，
解得k=

1

2

，
∴直線OQ的解析式為y=

1

2

x；
②設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2m，m），
Ⅰ．若該平行四邊形為?APMN，如圖2、圖3．

由于點(diǎn)A可由點(diǎn)P先向下平移兩個(gè)單位再向左平移2個(gè)單位所得，
因此點(diǎn)N可由點(diǎn)M先向下平移兩個(gè)單位再向左平移2個(gè)單位所得，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2m-2，m-2），
∵點(diǎn)N在拋物線y=

1

3

x（x-4）上，
∴

1

3

（2m-2）（2m-2-4）=m-2，
整理得：4m²-19m+18=0，
解得：m₁=

19+ 73

8

，m₂=

19- 73

8

，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

19+ 73

4

，

19+ 73

8

）或（

19- 73

4

，

19- 73

8

）；
Ⅱ．若該平行四邊形為?APNM，如圖4、圖5．

由于點(diǎn)P可由點(diǎn)A先向右平移兩個(gè)單位再向上平移2個(gè)單位所得，
因此點(diǎn)N可由點(diǎn)M先向右平移兩個(gè)單位再向上平移2個(gè)單位所得，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2m+2，m+2），
∵點(diǎn)N在拋物線y=

1

3

x（x-4）上，
∴

1

3

（2m+2）（2m+2-4）=m+2，
整理得：4m²-3m-10=0，
解得：m₃=2，m₄=-

5

4

，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，2）或（-

5

2

，-

5

4

）．
綜上所述：符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為：
（

19+ 73

4

，

19+ 73

8

）、（

19- 73

4

，

19- 73

8

）、（4，2）、（-

5

2

，-

5

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，運(yùn)用割補(bǔ)法是解決第（1）②小題的關(guān)鍵，運(yùn)用平移的方法得到點(diǎn)M與點(diǎn)N坐標(biāo)之間的關(guān)系是解決第（2）②小題的關(guān)鍵．