Question

【題目】已知：拋物線 經(jīng)過坐標原點，且當 時, y隨x的增大而減小.
（1）求拋物線的解析式；
（2）如下圖，設點A是該拋物線上位于x軸下方的一個動點，過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點D，再作AB x軸于點B, DC x軸于點C.

①當 BC=1時，直接寫出矩形ABCD的周長；
②設動點A的坐標為（a, b）,將矩形ABCD的周長L表示為a的函數(shù)，并寫出自變量的取值范圍，判斷周長是否存在最大值，如果存在，求出這個最大值，并求出此時點A的坐標；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：把（0，0）代入y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1，∴0=m2﹣1，∴m=±1，∵當x＜0時，y隨x的增大而減小，∴對稱軸x= ＞0，∴m＜ ，∴m=﹣1，∴拋物線的解析式為y=x2﹣3x
（2）解：①∵AD∥x軸，∴A與D關于拋物線的對稱軸對稱，∵拋物線的對稱軸為x= ，BC=1

∴點B的橫坐標為1，∴把x=1代入y=x2﹣3x，∴y=﹣2，∴AB=2，∴矩形ABCD的周長為：2×2+2×1=6；

②把A（a，b）代入y=x2﹣3x，∴b=a2﹣3a，∴A（a，a2﹣3a），令y=0代入y=x2﹣3x，∴x=0或x=3，∴由題意知：0＜a＜3，∴AB=3a﹣a2，由①可知：A與D關于x= 對稱，∴D的坐標為（3﹣a，a2﹣3a），∴AD=|3﹣a﹣a|=|3﹣2a|，分兩種情況討論：

當0＜a≤ 時，∴AD=3﹣2a，∴L=2（AB+AD）=﹣2a2+2a+6=﹣2（a﹣ ）2+ ，當a= 時，L的最大值為 ，此時A的坐標為（ ，﹣ ）；

當 ＜a＜3時，∴AD=2a﹣3，∴L=2（AB+AD）= =﹣2（a﹣ ）2+ ，當a= 時，L的最大值為 ，此時A的坐標為（ ，﹣ ）．

綜上所述：L= ，當A的坐標為（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ），L的最大值為 ．

【解析】（1）把原點坐標（0，0）代入拋物線解析式，由“x < 0 時, y隨x的增大而減小.”可判斷出開口向上，a取正值；（2）由拋物線的對稱性可知B、C是對稱點，結合對稱軸求出B橫坐標，代入解析式，進而求出AB，最后求出周長;(2)需分類討論，分A在對稱軸的左側或右側，構建關于周長的函數(shù)，分別求出兩種情況下的最大值，求出相應的A的坐標.