【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線與x軸交于A,B兩點(點A在點B左側(cè)),與y軸交于點C.
(1)判斷ABC的形狀,并說明理由;
(2)如圖1,點P為直線BC下方的二次函數(shù)圖象上的一個動點(點P與B、C不重合),過點P作y軸的平行線交x軸于點E.當PBC面積的最大值時,點F為線段BC一點(不與點、重合),連接EF,動點G從點E出發(fā),沿線段EF以每秒1個單位的速度運動到點F,再沿FC以每秒個單位的速度運動到點C后停止,當點F的坐標是多少時,點G在整個運動過程中用時最少?
(3)如圖2,將ACO沿射線CB方向以每秒個單位的速度平移,記平移后的ACO為A1C1O1,連接A A1,直線A A1交拋物線與點M,設(shè)平移的時間為t秒,當A MC1為等腰三角形時,求t的值.
【答案】(1)△ABC為直角三角形,理由見解析;(2);(3)當△AMC1為等腰三角形時,則t的值t=或或或.
【解析】(1)結(jié)論:△ABC是直角三角形.在Rt△AOC中,由tan∠ACO=,推出∠ACO=30°,在Rt△OBC中,由tan∠BCO=,推出∠BCO=60°,可得∠ACB=∠ACO+∠BCO=90°;
(2)設(shè)P(m,m2-m-),作射線CN,使得∠BCN=60°,作FH⊥CN于H,F(xiàn)G⊥AE于G,則FH=CFcos30°=CF,首先求出點P坐標,動點G的運動時間=CF=EF+FH,根據(jù)垂線段最短可知,當EH⊥CN時,動點G的運動時間最小,由此即可解決問題;
(3)求出直線AM的解析式,利用方程組求出點M坐標,由題意C′(t,t-),分三種情形討論,想辦法列出方程即可解決問題;
(1)結(jié)論:△ABC是直角三角形.
理由:如圖1中,連接AC.
∵拋物線y=x2-x-與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側(cè)),與y軸交于點C,
∴A(-1,0),B(3,0),C(0,-),
在Rt△AOC中,∵tan∠ACO=,
∴∠ACO=30°,
在Rt△OBC中,∵tan∠BCO=,
∴∠BCO=60°,
∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=90°,
∴△ABC是直角三角形.
(2)設(shè)P(m,m2-m-),作射線CN,使得∠BCN=60°,作FH⊥CN于H,F(xiàn)G⊥AE于G,則FH=CFcos30°=CF.
則S△PBC=S△POC+S△POB-S△BOC
=××m+×3×(-m2+m+)-××3
=-(m-)2+ ,
∵-<0,
∴m=時,△PBC的面積最大,此時P(,-),
∵動點G的運動時間=CF=EF+FH,
根據(jù)垂線段最短可知,當EH⊥CN時,動點G的運動時間最小,
∵∠EFB=∠EBF=30°,
∴EF=EB=,
在Rt△EFG中,FG=EFcos30°=,EG=,OG=,
∴此時F的坐標為(,-).
(3)由題意直線BC的解析式為y=x-,直線AC的解析式為y=x+,
由 ,
解得,或
∴M(4,),
∵C1(t,t-),
∴AM2=52+()2,C1A2=(t+1)2+(t-)2,MC1=(4-t)2+(-t+)2,
①當AM=MC1時,52+()2=(4-t)2+(-t+)2,解得t=5+或5-,
②當C1A=C1M時,(t+1)2+(t-)2=(4-t)2+(-t+)2,解得t=
③當C1A=AM時,52+()2=(t+1)2+(t-)2,解得t=s或-(舍棄),
綜上所述,滿足條件的t的值為(5+)s或(5-)s或s或s.
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【題目】根據(jù)閱讀材料,回答問題.
材料:如圖所示,有公共端點(O)的兩條射線組成的圖形叫做角().如果一條射線()把一個角()分成兩個相等的角(和),這條射線()叫做這個角的平分線.這時,(或).
問題:平面內(nèi)一定點A在直線的上方,點O為直線上一動點,作射線,,,當點O在直線上運動時,始終保持,,將射線繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°得到射線.
(1)如圖1,當點O運動到使點A在射線的左側(cè)時,若平分,求的度數(shù);
(2)當點O運動到使點A在射線的左側(cè),時,求的值;
(3)當點O運動到某一時刻時,,直接寫出此時的度數(shù).
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【題目】如圖,平面上有射線和點,,請用尺規(guī)按下列要求作圖:
(1)連接,并在射線上截取;
(2)連接、,并延長到,使
(3)在(2)的基礎(chǔ)上,取中點,若,,求的值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線AB與x軸交于點B,與y軸交于點A,與反比例函數(shù)的圖象在第二象限交于點C,CE⊥x軸,垂足為點E,,OB=2,OE=1.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點D是反比例函數(shù)圖象在第四象限上的點,過點D作DF⊥y軸,垂足為點F,連接OD、BF,如果SBAF=4SDFO,求點D的坐標.
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【題目】為了了解市民“獲取新聞的最主要途徑”,某市記者開展了一次抽樣調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖.
根據(jù)以上信息解答下列問題.
(1)這次抽樣調(diào)查的樣本容量是__________.
(2)通過“電視”了解新聞的人數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的百分比為______;扇形統(tǒng)計圖中,“手機上網(wǎng)”所對應的圓心角的度數(shù)是_________.
(3)請補全條形統(tǒng)計圖;
(4)若該市約有950萬人,請你估計其中將“電腦和手機上網(wǎng)”作為“獲取新聞的最主要途徑”的總?cè)藬?shù).
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【題目】某校組織學生開展課外社會實踐活動,現(xiàn)有甲、乙兩種大客車可租,已知1輛甲種客車和3輛乙種客車共需租金1240元,3輛甲種客車和2輛乙種客車共需租金1760元.
(1)求1輛甲種客車和1輛乙種客車的租金分別是多少元?
(2)學校計劃租用甲、乙兩種客車共8輛,甲種客車每輛載客量45人,乙種客車每輛載客量30人,共有師生330人,求最節(jié)省的租車費用是多少元?
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【題目】如圖,點B,E,C,F(xiàn)在同一條直線上,AB=DE,∠B=∠DEF.要使△ABC≌△DEF,則需要再添加的一個條件是_______.(寫出一個即可)
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【題目】“水是生命之源”,某市自來水公司為了鼓勵居民節(jié)約用水,規(guī)定按以下標準收取水費:
月用水量(噸) | 單價(元/噸) |
不超過25噸 | 1.4 |
超過25噸的部分 | 2.1 |
另:每噸用水加收0.95元的城市污水處理費 |
(1)如果1月份小明家用水量為18噸,那么小明家1月份應該繳納水費 元;
(2)小明家2月份共繳納水費104.5元,那么小明家2月份用水多少噸?
(3)小明家的水表3月份出了故障,只有80%的用水量記入水表中,這樣小明家在3月份只繳納了56.4元水費,問小明家3月份實際應該繳納水費多少元?
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