Question

已知：Rt△ABC的三邊長均為整數(shù)，點(diǎn)A（4，0），B（0，3）．若點(diǎn)C在第一象限內(nèi)且在反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為________．

Answer 1

12，，，
分析：如果求出了C點(diǎn)的坐標(biāo)，那么只需將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，即可求出k的值．由于AB=5，所以當(dāng)Rt△ABC的三邊長均為整數(shù)時(shí)，分AB為斜邊和AB為直角邊進(jìn)行討論：①如果AB=5為斜邊，那么兩條直角邊分別為3，4．當(dāng)AC=3時(shí)，易求C（4，3）；當(dāng)BC=3時(shí)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義，可求出C（，）；②如果AB=5為直角邊，那么另外兩條邊分別為12，13．當(dāng)AC=12時(shí)，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可求C（，）；當(dāng)BC=12時(shí)，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可求C（，）．
解答：解：∵A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∵∠AOB=90°，
∴AB=5．
分兩種情況：
①如果AB=5為斜邊，那么兩條直角邊分別為3，4．
當(dāng)AC=3時(shí)，則BC=4，C₁點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3），
所以k=4×3=12；
當(dāng)BC=3時(shí)，設(shè)AC₂與BC₁交于點(diǎn)P，過點(diǎn)C₂作C₂D⊥BC₁于D．
由AAS易證△BPC₂≌△APC₁，則BP=AP，PC₂=PC₁．
設(shè)PC₁=x，則AP=BP=4-x，
在△APC₁中，由勾股定理，
得x²+3²=（4-x）²，解得x=．
則AP=BP=，
∴BD=BC₂•cos∠C₂BD=BC₂•cos∠C₁AP=3×=，C₂D=BC₂•sin∠C₂BD=BC₂•sin∠C₁AP=3×=，
∴OB+C₂D=3+=，
∴C₂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
∴k=×=；
②如果AB=5為直角邊，那么另外兩條邊分別為12，13．
當(dāng)AC=12時(shí)，∠BAC=90°．過點(diǎn)C₃作C₃D⊥x軸于D．
∵∠C₃DA=∠AOB=90°，∠C₃AD=∠ABO=90°-∠OAB，
∴△C₃DA∽△AOB，
∴C₃D：AO=DA：OB=C₃A：AB，
即C₃D：4=DA：3=12：5，
∴C₃D=，DA=，
∴OD=OA+AD=4+=，
∴C₃點(diǎn)坐標(biāo)（，），
∴k=×=；
當(dāng)BC=12時(shí)，∠ABC=90°．過點(diǎn)C₄作C₄D⊥y軸于D．
∵∠C₄DB=∠BOA=90°，∠C₄BD=∠OAB=90°-∠ABO，
∴△C₄DB∽△BOA，
∴C₄D：BO=DB：OA=C₄B：BA，
即C₄D：3=DB：4=12：5，
∴C₄D=，DB=，
∴OD=OB+BD=3+=，
∴C₄點(diǎn)坐標(biāo)（，），
∴k=×=．
綜上可知，k的值為12，，，．
故答案為：12，，，．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，綜合性較強(qiáng)，熟記常見的勾股數(shù)及將Rt△ABC分AB為斜邊和AB為直角邊進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵．