【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)ABC的三個(gè)頂點(diǎn),與y軸相交于(0,),點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,2),點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),點(diǎn)C在x軸的正半軸上.

(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式.

(2)點(diǎn)F為線段AC上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)F作FEx軸,F(xiàn)Gy軸,垂足分別為E、G,當(dāng)四邊形OEFG為正方形時(shí),求出F點(diǎn)的坐標(biāo).

(3)將(2)中的正方形OEFG沿OC向右平移,記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG,當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)平移的距離為t,正方形的邊EF與AC交于點(diǎn)M,DG所在的直線與AC交于點(diǎn)N,連接DM,是否存在這樣的t,使DMN是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)y=x2+;(2)(1,1);(3)當(dāng)DMN是等腰三角形時(shí),t的值為,3或1.

【解析】

試題分析:(1)易得拋物線的頂點(diǎn)為(0,),然后只需運(yùn)用待定系數(shù)法,就可求出拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式;

(2)當(dāng)點(diǎn)F在第一象限時(shí),如圖1,可求出點(diǎn)C的坐標(biāo),直線AC的解析式,設(shè)正方形OEFG的邊長(zhǎng)為p,則F(p,p),代入直線AC的解析式,就可求出點(diǎn)F的坐標(biāo);當(dāng)點(diǎn)F在第二象限時(shí),同理可求出點(diǎn)F的坐標(biāo),此時(shí)點(diǎn)F不在線段AC上,故舍去;

(3)過(guò)點(diǎn)M作MHDN于H,如圖2,由題可得0t2.然后只需用t的式子表示DN、DM2、MN2,分三種情況(DN=DM,ND=NM,MN=MD)討論就可解決問(wèn)題.

試題解析:(1)點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),

拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為y軸,

拋物線的頂點(diǎn)為(0,),

故拋物線的解析式可設(shè)為y=ax2+

A(1,2)在拋物線y=ax2+上,

a+=2,

解得a=,

拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為y=x2+;

(2)當(dāng)點(diǎn)F在第一象限時(shí),如圖1,

令y=0得,x2+=0,

解得:x1=3,x2=3,

點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0).

設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n,

則有,

解得,

直線AC的解析式為y=x+

設(shè)正方形OEFG的邊長(zhǎng)為p,則F(p,p).

點(diǎn)F(p,p)在直線y=x+上,

∴﹣p+=p,

解得p=1,

點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,1).

當(dāng)點(diǎn)F在第二象限時(shí),

同理可得:點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3,3),

此時(shí)點(diǎn)F不在線段AC上,故舍去.

綜上所述:點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,1);

(3)過(guò)點(diǎn)M作MHDN于H,如圖2,

則OD=t,OE=t+1.

點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng),0t2.

當(dāng)x=t時(shí),y=t+,則N(t,t+),DN=t+

當(dāng)x=t+1時(shí),y=(t+1)+=t+1,則M(t+1,t+1),ME=t+1.

在RtDEM中,DM2=12+(t+1)2=t2t+2.

在RtNHM中,MH=1,NH=(t+t+1)=

MN2=12+(2=

當(dāng)DN=DM時(shí),

t+2=t2t+2,

解得t=;

當(dāng)ND=NM時(shí),

t+=,

解得t=3;

當(dāng)MN=MD時(shí),

=t2t+2,

解得t1=1,t2=3.

0t2,t=1.

綜上所述:當(dāng)DMN是等腰三角形時(shí),t的值為,3或1.

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