Question

我們新定義一種三角形：兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．
（1）根據“奇異三角形”的定義，請你判斷命題“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題，并說明理由；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c；
（3）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點（不與點A、B重合），D是半圓弧ADB的中點，C、D在直徑AB的兩側，若在⊙O內存在點E，使AE=AD，CB=CE．試說明△ACE是奇異三角形．

Answer 1

分析：（1）設等邊三角形ABC餓邊長是a，則a²+a²=2a²，根據“奇異三角形”的定義推出即可；
（2）根據勾股定理得出a²+b²=c²①，根據奇異三角形得出a²+c²=2b²②，由①②求出b=

2

a，c=

3

a，代入即可求出答案；
（3）根據勾股定理得出AC²+BC²=AB²，AD²+BD²=AB²，求出AD=BD，求出AC²+CB²=2AD²，把CB=CE，AE=AD代入求出AC²+CE²=2AE²即可．

解答：解：（1）命題“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題，
理由是：∵設等邊三角形的一邊為a，
則a²+a²=2a²，
∴符合“奇異三角形”的定義得出：命題“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題；

（2）∵∠C=90°，
∴a²+b²=c²①，
∵Rt△ABC是奇異三角形，且b＞a，
∴a²+c²=2b²②，
由①②得：b=

2

a，c=

3

a，
∴a：b：c=1：

2

：

3

；

（3）∵①AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，AC²+BC²=AB²，
在Rt△ADB中，AD²+BD²=AB²，
∵點D是半圓弧ADB的中點，
∴弧AD=弧DB，
∴AD=BD，
∴AB²=AD²+BD²=2AD²，
∴AC²+CB²=2AD²，
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC²+CE²=2AE²，
∴△ACE是奇異三角形．

點評：本題考查了圓周角定理，勾股定理，等邊三角形的性質，圓心角、弧、弦之間的關系，命題與定理等知識點的綜合運用．