Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于某點(diǎn)（不是原點(diǎn)），稱以點(diǎn)為圓心，長為半徑的圓為點(diǎn)的半長圓；對(duì)于點(diǎn)，若將點(diǎn)的半長圓繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，能夠使得點(diǎn)位于點(diǎn)的半長圓內(nèi)部或圓上，則稱點(diǎn)能被點(diǎn)半長捕獲（或點(diǎn)能半長捕獲點(diǎn)）．

（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則點(diǎn)的半長圓的面積為__________；下列各點(diǎn)、、、，能被點(diǎn)半長捕獲的點(diǎn)有__________；

（2）已知點(diǎn)，，，①如圖，點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，線段上的所有點(diǎn)均可以被點(diǎn)半長捕獲，求的取值范圍；②若對(duì)于平面上的任意點(diǎn)（原點(diǎn)除外）都不能半長捕獲線段上的所有點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）S=π，B、C兩點(diǎn)；（2）①－2≤n≤或≤6n≤2；（2）②＜t＜

【解析】

（1）根據(jù)定義，半徑為1，直接求面積；根據(jù)被捕獲的定義，設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，只需r≤d≤3r，即可以捕獲；

（2）①利用r≤d≤3r這個(gè)性質(zhì)，分別計(jì)算臨界點(diǎn)：點(diǎn)E和點(diǎn)F能夠被捕獲的范圍，然后去公共部分即可；

（2）②在上一問的基礎(chǔ)上，只需解得的不等式無公共部分，則不能捕獲

（1）∵點(diǎn)

∴圓的半徑為1，面積為π

根據(jù)被捕獲的定義，設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，只需r≤d≤3r，即可以捕獲

即當(dāng)1≤d≤3時(shí)，點(diǎn)可被捕獲

，則d=，不符合；

，d=2，符合；

，d=2，符合；

，d=，不符合

（2）①∵點(diǎn)N(0，n)

∴圓的半徑為，所以只需滿足≤d≤時(shí)，則可被捕獲

點(diǎn)E(1，0)，則d=1，要想能夠被捕獲，則：

≤1≤

解得：≤n≤或≤n≤

點(diǎn)F(1，)，則d=2

同理，≤2≤

解得：≤n≤或≤n≤

合并得：≤n≤或≤n≤

（2）②同上，圓的半徑為，所以只需滿足≤d≤時(shí)，則可被捕獲

點(diǎn)E(t，0)，則d=t，要想能夠被捕獲，則：≤n≤或≤n≤

點(diǎn)F(t，)，則d=，要想能夠被捕獲，則：≤n≤或≤n≤

∵任意值都不能捕獲，∴得到的兩個(gè)不等式無公共部分，即：

和＞

在結(jié)合t＞0，解得：0＜t＜