Question

正方形ABCD的邊長為4，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在CD邊上，且∠BAM=∠MAN，則AN=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)

專題：幾何圖形問題

分析：通過證Rt△ABM≌Rt△APM（HL）得到AB=AP=PM，∠3=∠4；則易證Rt△PMN≌Rt△CMN（HL），則∠5=∠6，PN=CN．則AN=AP+NP=AB+NC，所以通過△ABM∽△MCN可以求得NC的長度．

解答：解：如圖，過點(diǎn)M作MP⊥AN于點(diǎn)P，連接MN．
∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，
∴BM=CM．
∵∠BAM=∠MAN，即∠1=∠2，
∴BM=PM，
在Rt△ABM與Rt△APM中，

BM=PM AM=AM

，
∴Rt△ABM≌Rt△APM（HL），
∴AB=AP，∠3=∠4．
∴PM=CM．
易證Rt△PMN≌Rt△CMN（HL），則∠5=∠6，PN=CN．
∴∠4+∠5=∠3+∠6=90°，
∴∠1=∠6．
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCN，
∴

AB

MC

=

BM

CN

，即

4

2

=

2

NC

，解得 NC=1，
∴AN=AP+NP=AB+NC=4+1=5，即AN=5．
故答案是：5．

點(diǎn)評：本題綜合運(yùn)用了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)．難度較大，需要學(xué)生具備一定的推理能力．