Question

（2009•巢湖模擬）如圖△ABC是⊙O內(nèi)接三角形，點(diǎn)C是優(yōu)孤AB上一點(diǎn)（點(diǎn)C與A、B不重合）設(shè)∠OAB=α，∠C=β．
（1）當(dāng)α=36°時(shí)，求β的度數(shù)；
（2）猜想α與β之間的關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）求β，根據(jù)已知條件只需求得它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形的內(nèi)角和定理即可求得；
（2）結(jié)合（1）中的計(jì)算過(guò)程，即可推導(dǎo)出兩者之間的關(guān)系．
解答：解：（1）連OB，則OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=36°
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=108°
∴；

（2）α與β之間關(guān)系是α+β=90°．
證明：連OB，則OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=α
∴∠AOB=180°-2α
∴β=∠C=∠AOB=（180°-2α）=90°-α．
∴α+β=90°．
點(diǎn)評(píng)：此題是一道常規(guī)中檔題，主要考查圓周角、圓心角關(guān)系定理．主要證法有三種：
（1）連接OB，構(gòu)建圓周角與圓心角的關(guān)系；
（2）連OB，并作AB的垂線段OD，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)、圓周角與圓心角的關(guān)系求解；
（3）延長(zhǎng)AO交⊙O于E，連接BE，利用圓周角定理，把α與β放在同一個(gè)直角三角形中．