Question

關(guān)于x的方程x²-（2k+1）x+k²=0，
（1）如果方程有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍．
（2）設(shè)x₁，x₂是方程的兩根，且

1

x1

+

1

x2

=

1

k-1

 ，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)方程x²-（2k+1）x+k²=0有實(shí)數(shù)根，得出△≥0，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)x₁，x₂是方程的兩根，得出x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²，再把式子

1

x1

+

1

x2

整理成

x1+x2

x1x2

，求出k的值即可．

解答：解：（1）∵方程x²-（2k+1）x+k²=0有實(shí)數(shù)根，
∴△≥0，
∴[-（2k+1）]²-4×1×k²≥0，
整理得：4k≥-1，
解得k≥-

1

4

．
則實(shí)數(shù)k的取值范圍為k≥-

1

4

．

（2）∵x₁，x₂是方程的兩根，
∴x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²，
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

2k+1

k2

=

1

k-1

，
解得：k=

1± 5

2

，
經(jīng)檢驗(yàn)k=

1± 5

2

是原方程的解，
則k的值是

1± 5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，掌握好一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．