Question

如圖在平面直角坐標(biāo)系中，菱形AOBC的頂點(diǎn)C在y軸上，雙曲線恰好經(jīng)過頂點(diǎn)A，且對角線AB=8，OC=6

（1）求雙曲線的解析式；
（2）若點(diǎn)E（，a）在線段AC上，P為線段OC上一點(diǎn)，過P點(diǎn)的直線PE交AO的延長線于點(diǎn)F，且OF=CE，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在第四象限的雙曲線上，是否存在一點(diǎn)M，使S_△AMC=2S_△AOC？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵四邊形AOBC為菱形，
∴AB與OC互相垂直平分，
∴AD=AB=4，OD=OC=3
∵而C在y軸上，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，3），
把A（-4，3）代入y=得k=-4×3=-12，
∴雙曲線的解析式為y=-；

（2）作EH⊥y軸于H，F(xiàn)Q⊥y軸于Q，如圖2，
設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，
把A（-4，3）和C（0，6）代入得，解得，
∴直線AC的解析式為y=x+6，
把點(diǎn)E（，a）代入a=×（-）+6=5，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（-，5），
∴CH=1，EH=
∵四邊形AOBC為菱形，
∴∠ACO=∠AOC，
而∠AOC=∠QOF，
∴∠AOC=∠QOF，
∵CE=OF，
∴Rt△CEH≌Rt△OFQ，
∴CH=OQ=1，EH=EQ=，
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（，-1），
設(shè)直線EF的解析式為y=ax+b，
把E點(diǎn)（-，5）、F（，-1）代入得，解得，
∴直線EF的解析式為y=-x+2，
令x=0，則y=2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）；

（3）存在．
∵S_△AMC=2S_△AOC，
而OC=6，
把直線AC向下平移12個單位，得直線l，則l的解析式為y=x-6，
∴直線l與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為M點(diǎn)，
解方程組得，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-3）．
分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得到A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，3），然后利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式；
（2）作EH⊥y軸于H，F(xiàn)Q⊥y軸于Q，先利用待定系數(shù)法確定直線AC的解析式為y=x+6，則可得到E點(diǎn)坐標(biāo)為（-，5），則CH=1，EH=，然后證明Rt△CEH≌Rt△OFQ，則CH=OQ=1，EH=EQ=，所以F點(diǎn)坐標(biāo)為（，-1），接著先利用待定系數(shù)法確定直線EF的解析式為y=-x+2，于是可得到P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由于S_△AMC=2S_△AOC，而OC=6，把直線AC向下平移12個單位，得直線l，則l的解析式為y=x-6，所以直線l與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為M點(diǎn)，然后解方程組可確定M點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；熟練運(yùn)用菱形的性質(zhì)和解析式法確定直線交點(diǎn)坐標(biāo)．