【題目】如圖1,ABCCDE是等腰直角三角形,直角邊AC、CD在同一條直線上,點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn),點(diǎn)PAD的中點(diǎn),連接AEBD

1)請(qǐng)直接寫出PMPN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系   ;

2)現(xiàn)將圖1中的CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)αα90°),得到圖2,AEMP、BD分別交于點(diǎn)G、H.請(qǐng)直接寫出PMPN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系   ;

3)若圖2中的等腰直角三角形變成直角三角形,使BCkAC,CDkCE,如圖3,寫出PMPN的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

【答案】1PMPN,PMPN,理由見解析;(2PMPN,PMPN,理由見解析;(3PMkPN,證明見解析.

【解析】

1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出結(jié)論判斷出△ACE≌△BCD,得出AE=BD,再用三角形的中位線即可得出結(jié)論;

2)同(1)的方法即可得出結(jié)論;

3)利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等,判斷出△BCD∽△ACE,得出BD=kAE,最后用三角形的中位線即可得出結(jié)論.

解:(1PMPN,PM⊥PN,

理由如下:

∵△ACB△ECD是等腰直角三角形,

∴ACBC,ECCD∠ACB∠ECD90°

△ACE△BCD,

∴△ACE≌△BCDSAS),

∴AEBD,∠EAC∠CBD

∵∠BCD90°,

∴∠CBD+∠BDC90°,

∴∠EAC+∠BDC90°

點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn),點(diǎn)PAD的中點(diǎn),

∴PMBD,PNAE,

∴PMPN

點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn),點(diǎn)PAD的中點(diǎn),

∴PM∥BC,PN∥AE

∴∠NPD∠EAC,∠MPN∠BDC,

∵∠EAC+∠BDC90°,

∴∠MPA+∠NPC90°,

∴∠MPN90°,

PM⊥PN

故答案為:PM⊥PN,PMPN;

2PMPNPM⊥PN,

理由:∵△ACB△ECD是等腰直角三角形,

∴ACBC,ECCD∠ACB∠ECD90°

∴∠ACB+∠BCE∠ECD+∠BCE

∴∠ACE∠BCD,

∴△ACE≌△BCDSAS).

∴AEBD,∠CAE∠CBD

∵∠AOC∠BOE,∠CAE∠CBD

∴∠BHO∠ACO90°

點(diǎn)P、M、N分別為ADAB、DE的中點(diǎn),

∴PMBD,PM∥BD

PNAE,PN∥AE

∴PMPN

∴∠MGE+∠BHA180°

∴∠MGE90°

∴∠MPN90°

∴PM⊥PN

故答案為:PM⊥PN,PMPN;

3PMkPN,

∵△ACB△ECD是直角三角形,

∴∠ACB∠ECD90°

∴∠ACB+∠BCE∠ECD+∠BCE

∴∠ACE∠BCD

∵BCkAC,CDkCE,

k

∴△BCD∽△ACE

∴BDkAE,

點(diǎn)PM、N分別為ADAB、DE的中點(diǎn),

∴PMBD,PNAE

∴PMkPN

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