【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交于A(﹣1,0)、C(2,3)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)N,其頂點(diǎn)為D.

(1)求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式;

(2)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求△APC的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)設(shè)點(diǎn)M(3,n),求使MN+MD取最小值時(shí)n的值.

【答案】(1)y﹣x2+2x+3,y=x+1;(2)P(,);(3)

【解析】

1)利用待定系數(shù)法,以及點(diǎn)A(﹣1,0)、C(2,3)即可求得二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式

(2)過點(diǎn)PPQx軸交AC于點(diǎn)Q,交x軸于點(diǎn)H,設(shè)Pm,﹣m2+2m+3),,則點(diǎn)Qm,m+1),則可求得線段PQ=﹣(m2+最后由圖示以及三角形的面積公式表示出APC 的面積,由二次函數(shù)最值的求法可知APC的面積的最大值;

(3)根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短過點(diǎn)N作與直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)N,連接DN′,,當(dāng)M(3,n在直線DN上時(shí),MN+MD的值最小.

(1)∵將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得:,

解得:b=2,c=3.

∴拋物線的解析式為y﹣x2+2x+3.

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b.

∵將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得,解得k=1,b=1.

∴直線AC的解析式為y=x+1.

(2)如圖,

設(shè)點(diǎn)P(m,﹣m2+2m+3),

Q(m,m+1),

PQ=(﹣m2+2m+3)﹣(m+1)=﹣m2+m+2=﹣(m﹣2+

SAPC=PQ×|xC﹣xA|

= [﹣(m﹣2+3=﹣(m﹣2+,

∴當(dāng)m=時(shí),SAPC最大=,y=﹣m2+2m+3=,

P();

(3)如圖1所示,過點(diǎn)N作與直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)N′,連接DN′,交直線x=3與點(diǎn)M.

∵當(dāng)x=0時(shí)y3,

N(0,3).

∵點(diǎn)N與點(diǎn)N′關(guān)于x=3對(duì)稱,

N′(6,3).

y﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

D(1,4).

設(shè)DN的解析式為y=kx+b.

將點(diǎn)N′與點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得:

解得:k=﹣,b=

∴直線DN′的解析式為y=﹣x+

當(dāng)x=3時(shí),n=+=

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,,之間的等量關(guān)系________

2)問題探究:如圖②,在四邊形中,,的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),點(diǎn)的中點(diǎn),若的平分線,試探究,之間的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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1)求AC的長(zhǎng)度;

2)如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn),試求四邊形AOPB的面積Sm之間的函數(shù)關(guān)系式,并求當(dāng)APBABC面積相等時(shí)m的值。

3)是否存在使QAB是等腰三角形并且在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)Q?若存在,請(qǐng)寫出點(diǎn)Q所有可能的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

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