Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）為線段上一點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)，將線段，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意相同的角到，的位置，使點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，都在軸下方，與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在拋物線上，在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為矩形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式是y=－x2+3x+4；（2）D點(diǎn)坐標(biāo)為為（2，0），（3）點(diǎn)N的坐標(biāo)（6，2）或（－6，－2）或或．

【解析】

（1）把點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式解出和即可；

（2）旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可證△EDP∽△GDQ，從而可得，繼而可得ED=2DC，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），可得方程，解之即可；

（3）按ABM三點(diǎn)構(gòu)成直角位置分三種情況討論，畫出圖形，利用三角形相似和坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離列方程求解出M點(diǎn)坐標(biāo)，再按平移規(guī)律可得N點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）解：∵拋物線y=－x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（0，4），C（－1，0）兩點(diǎn)，

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式是y=－x2+3x+4；

（2）∵∠EDF=∠CDG，

∴∠EDF－∠PDF=∠CDG－∠PDF，

∴∠EDP＝∠GDQ，

又DE=DF，DC=DG，

∴，

∴△EDP∽△GDQ，

∴，

∴ED=2DC，

設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0）

∴解得x1=－1，x2=2

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為為（2，0）

（3）點(diǎn)N的坐標(biāo)是（6，2）或（－6，－2）或或．

∵B點(diǎn)是拋物線y=－x2+3x+4的交點(diǎn)，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），

∴OB=4，

I.當(dāng) 時(shí)，如解圖（1），過(guò)M點(diǎn)作MH⊥y軸，易證，

∴，

∴AH=HM，

設(shè)HM=x，則M點(diǎn)坐標(biāo)為,

又∵點(diǎn)M在拋物線y=－x2+3x+4，

∴，

解得或，

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為，

∵四邊形ABNM是矩形，根據(jù)點(diǎn)平移規(guī)律可知N點(diǎn)坐標(biāo)為，

II.當(dāng) 時(shí)，如解圖（2），同理可求N點(diǎn)坐標(biāo)為，

III.當(dāng)時(shí)，以AB為直徑作圓，交拋物線與M、，如解圖（3），

設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），

∵圓心點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，2），

∴MP

即：，

又∵點(diǎn)M在拋物線y=－x2+3x+4，

∴

解得：，，

即M點(diǎn)為，，

∵由點(diǎn)的平移規(guī)律可知，N點(diǎn)坐標(biāo)為：或．

綜上所述：點(diǎn)N的坐標(biāo)（6，2）或（－6，－2）或或．