Question

如圖，已知AB=AC，BC=BD=DA．
（1）求∠A的度數(shù)；
（2）求證：點(diǎn)D是AC的黃金分割點(diǎn)；
（3）求sin

A

2

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：黃金分割

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠ABC=∠C，∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列出方程求解即可；
（2）如果AC：AD=AD：DC，那么點(diǎn)D是AC的黃金分割點(diǎn)，根據(jù)已知條件可得∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°，所以△ACB∽△BCD；然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得AC：BC=BC：DC；將BC=DA代入即可；
（3）設(shè)AB=AC=1，由（2）點(diǎn)D是AC的黃金分割點(diǎn)，根據(jù)黃金分割的概念可知AD=

5 -1

2

，則BC=DA=

5 -1

2

．作AE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知BE=EC=

1

2

BC=

5 -1

4

，∠BAE=∠CAE=

1

2

∠A，然后根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可求解．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵BD=BC=AD，
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，
在△ABD中，∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+2∠A=180°，
解得∠A=36°；

（2）在等腰△ABC中，∵∠A=∠ABD=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，
在△ACB和△BCD中，
∵∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°，
∴△ACB∽△BCD，
∴AC：BC=BC：DC；
∵AD=BC，
∴AC：AD=AD：DC；
即點(diǎn)D是AC的黃金分割點(diǎn)；

（3）設(shè)AB=AC=1．
由（2）知AC：AD=AD：DC，
∴AD=

5 -1

2

，
∴BC=DA=

5 -1

2

．
作AE⊥BC于E，
∵AB=AC，
∴BE=

1

2

BC=

5 -1

4

，∠BAE=

1

2

∠A，
∴sin

A

2

=

BE

AB

=

5 -1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了黃金分割的概念：把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（

5 -1

2

）叫做黃金比．也考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義．